[論文レビュー] General Doubly Stochastic Maximum Principle and Its Applications to Optimal Control of Stochastic Partial Differential Equations

Liangquan Zhang, Yufeng Shi|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、制御に依存する係数を有する準線形確率的熱方程式の最適制御に対する一般化された二重確率的最大原理を確立し、最適性の必要十分条件を導出する。これらの原理を用いて、前向き・後向き二重確率的線形二次制御問題と確率的偏微分方程式制御の例を解き、このようなシステムのための統一的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this paper, we prove the necessary and sufficient maximum principles (NSMPs in short) for the optimal control of systems described by a quasilinear stochastic heat equation within convex control domains, which all the coefficients contain control variables. For that, the optimal control problem of fully coupled forward-backward doubly stochastic system is studied. We apply our NSMPs to treat a kind of forward-backward doubly stochastic linear quadratic optimal control problems and an example of optimal control of stochastic partial differential equations (SPDEs in short) as well.

研究の動機と目的

• 制御に依存する係数を有する準線形確率的熱方程式に従うシステムの最適制御のための必要十分最大原理を開発すること。
• 最大原理の枠組みを完全に結合された前向き・後向き二重確率的システムへ拡張すること。
• 導出された原理を、二重確率的設定下での線形二次最適制御問題に適用して解くこと。
• 具体的な確率的偏微分方程式制御の例を通じて、理論の適用可能性を示すこと。

提案手法

• 確率的微積分と随伴方程式を用いて、制御に依存する係数を有する準線形確率的熱方程式に対する必要十分最大原理（NSMP）を導出する。
• 完全に結合された前向き・後向き二重確率的システムの枠組み内で最適制御問題を定式化する。
• 最大原理に必要な随伴過程を特徴付けるために、後向き確率微分方程式（BSDE）を用いる。
• 二重確率的ダイナミクスを有する線形二次最適制御問題にNSMPを適用し、明示的な最適制御則を導出する。
• 提案された枠組みを用いて、確率的偏微分方程式の最適制御の具体的な例を構築する。
• 例問題の解析的取り扱いを通じて、理論的結果の整合性と適用可能性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御に依存する係数を有する準線形確率的PDEに対する一般化された二重確率的最大原理は、どのように導出可能か？
• RQ2 完全に結合された前向き・後向き二重確率的システムにおける最適性の必要十分条件は何か？
• RQ3 導出された最大原理は、確率的偏微分方程式ダイナミクス下での線形二次最適制御問題にどのように適用可能か？
• RQ4 理論的枠組みは、具体的なSPDE制御の例に効果的に適用可能か？

主な発見

• 制御に依存する係数を有する準線形確率的熱方程式の最適制御に対する一般化された必要十分最大原理が確立された。
• この枠組みは完全に結合された前向き・後向き二重確率的システムへも効果的に拡張可能であり、より広範な適用性を有する。
• 最大原理を用いて、二重確率的設定下での線形二次最適制御問題の最適解が導出された。
• 提案された理論的枠組みを用いて、確率的偏微分方程式の最適制御の具体的な例が解かれた。
• 導出された条件は、制御に依存するダイナミクスを有する複雑な確率的PDEシステムにおける最適制御の特定に体系的な手法を提供する。
• 結果は、高次元的・非線形的・確率的制御システムを扱うために、提案された最大原理の実現可能性と有効性を示している。