[論文レビュー] General elements in anticanonical systems of threefolds with divisorial contractions and applications to classification

Masayuki Kawakita|ArXiv.org|Oct 4, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、cDV点への除法的収縮をもつ3次元多様体の反標準線形系統の一般要素が、至ってDu Val特異点しかもたないことを証明し、この文脈において一般のアリスン予想の強い形を確立している。また、重み付き吹き上げを用いたcAₙ点への除法的収縮を分類し、cDₙおよびcEₙ点への収縮の不一致の上限が4であることを示しており、このような収縮の完全分類への基盤的段階を提供している。

ABSTRACT

We treat threefolds with divisorial contractions whose exceptional divisors contract to compound Du Val points. We prove that general elements in their anticanonical systems around the exceptional divisors have at worst Du Val singularities. As applications to classification, we describe divisorial contractions to compound A_n points, and moreover we conclude that discrepancies of divisorial contractions to compound D_n or E_n points are at most four.

研究の動機と目的

• cDV点への除法的収縮をもつ3次元多様体の反標準線形系統の一般要素が、至ってDu Val特異点しかもたないことを証明すること。
• 明確な数値的条件を伴う重み付き吹き上げを用いて、cAₙ点への除法的収縮を分類すること。
• cDₙまたはcEₙ点への除法的収縮の不一致に上限4を与えること。
• 一般反標準超曲面によって誘導される部分的解消の完全な記述を提供すること、特に多くの場合において例外的局所の既約性を含むこと。

提案手法

• cohomological vanishingと[Ka1]からの数値的データを用いて、曲線C = E ∩ 一般超平面切断の厳密な変換の局所的構造を分析する。
• 非Gorenstein点におけるYの接空間への局所埋め込みの詳細な分析を用いて、|-K_Y|の全体的切断を追跡する。
• 特異Riemann-Roch技法と一般のアリスン定理を用いて、Eに沿った不一致と重複度を比較する。
• Shokurovの連結性補題と重み付き吹き上げからの数値的不変量を用いて、可能な収縮型を制限する。
• 多くの場合においてDu Val超曲面の直接探索を行い、-K_Y ≡ E + LのときにはCartier除部分線形系の基点なし条件を用いてそれらを構成する。
• 座標変換とイデアル論的解析を用いて、Xの定義方程式を標準形に簡約する。特にcA₂の場合に重点を置く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cDV点への除法的収縮をもつ3次元多様体の反標準線形系統の一般要素は、Du Val特異点のみをもつか？
• RQ2 重み付き吹き上げがcAₙ点への除法的収縮を与えるための明確な条件は何か？
• RQ3 cDₙまたはcEₙ点への除法的収縮の不一致は有界であるか？ もしそうなら、鋭い上限は何か？
• RQ4 一般反標準超曲面によって誘導される部分的解消S → S_Xは、X上での像曲面の最小解消とどのように関係するか？

主な発見

• f: (Y ⊃ E) → (X ∋ P) がcDV点への除法的収縮であるとき、|-K_Y|の一般要素は至ってDu Val特異点しかもたない。
• n ≥ 2 であるcAₙ点に対して、除法的収縮は、重み(r₁, r₂, a, 1)の重み付き吹き上げに正確に一致する。ここでaはr₁ + r₂を割り、r₁およびr₂と互いに素であり、gは重み付き次数r₁ + r₂を持ち、x₃^{(r₁+r₂)/a}係数が非ゼロである。
• 例外的なcA₂の場合、収縮は重み付き吹き上げではない。代わりに、Yは一意のcA₂型非Gorenstein点を持ち、K_Y = f* K_X + 3E が成り立つ。
• cDₙまたはcEₙ点への収縮において、K_Y = f* K_X + aE と書いたときの不一致aはa ≤ 4を満たす。
• 一般反標準超曲面によって誘導される部分的解消S → S_Xの例外的局所は、ほぼすべての場合において既約である。
• タイプIIbでJ = {(2,1),(4,1)}の特別な場合、o ∈ (x₁² + x₂² + x₃³ + x₁x₄² = 0) の重み(4,3,2,1)による重み付き吹き上げから収縮が生じ、cA₂点をもち、K_Y = f* K_X + 3E が成り立つ。