[論文レビュー] General entropic uncertainty relations for $N$-level systems

Steeve Zozor, G. M. Bosyk+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2013

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 47被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、N次元量子系における任意の2つの量子観測可能量について、一般化エントロピー（シャノン、R{\'e}nyi、Tsallis）の和に対する一般化された下界を導出する。幾何的最適化手法を用いることで、H{"{o}}lder共役性制約を回避し、固有基底間の重なり $ c $ に依存する下界を得た。この下界は $ c \leq \frac{1}{\sqrt{2}} $ の範囲で最適であり、Deutschの下界を改善し、特定の領域ではMaassen-Uffinkの下界を上回る。

ABSTRACT

We revisit entropic formulations of the uncertainty principle for an arbitrary pair of quantum observables in $N$-dimensional Hilbert space. Generalized entropies, including Shannon, R\'enyi and Tsallis' ones among others, are used as uncertainty measures associated with the distribution probabilities corresponding to the outcomes of the observables. We obtain a lower bound for the sum of generalized entropies for any couple of (positive) entropic indices. The bound depends on the overlap $c$ between the observables' eigenbases, and is valid for pure states as well as for mixed states. Our approach is inspired by that of de Vicente and S\'anchez-Ruiz [Phys. Rev. A 77, 04110 (2008)] and consists in a minimization of the entropy sum subject to the Landau-Pollak inequality that links the maximum probabilities for both observables. We solve the constrained optimization problem in a geometrical way and furthermore we overcome the H\older conjugacy constraint imposed on the entropic indices by Riesz-Thorin theorem generally used for when dealing with entropic formulations of the uncertainty principle. We show that (i) for given $c \le \frac{1}{\sqrt2}$, the bound obtained is optimal; and that, in the case of R\'enyi entropies, (ii) our bound improves Deutsch's one, but (iii) Maassen-Uffink's bound prevails when $c \le \frac12$. Finally, we compare our bound with known previous results in the cases of R\'enyi and Tsallis entropies.

研究の動機と目的

• 標準的なR{\'e}nyiおよびTsallisエントロピーを超えて、より広いクラスの一般化エントロピーを含む不確定性関係を拡張すること。
• エントロピック不確定性の定式化において、Riesz-Thorin定理が通常課すH{"{o}}lder共役性制約を克服すること。
• 純状態および混合状態の両方に適用可能な、一般化エントロピーの和に対する統一的な下界を導出すること。
• Landau-Pollak不等式の制約下で幾何的最小化手順を用いることで、既存の下界（特にDeutschおよびMaassen-Uffinkのもの）を改善すること。

提案手法

• 測定結果の不確実性の尺度として、一般化エントロピー（シャノン、R{\'e}nyi、Tsallis）を用いて不確定性原理を定式化する。
• 2つの観測可能量の最大確率を結ぶ制約として、Landau-Pollak不等式を適用する。
• H{"{o}}lder共役性条件に依存しない幾何的最適化手法を用いて、制約付き最適化問題を解く。
• 観測可能量の固有基底間の重なり $ c $ に明示的に依存するエントロピー和の下界を導出する。
• 確率単体における変分的手法を用い、Landau-Pollak制約下でのエントロピー和の最小化を実行する。
• 異なるエントロピー指数における下界の妥当性を検証し、既存の文献結果と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N次元系における任意の2つの観測可能量について、一般化エントロピーの和に対する統一的な下界を導出可能か？
• RQ2 特にH{"{o}}lder共役領域外において、異なるエントロピー指数の下界の挙動はどのように変化するか？
• RQ3 提案手法により、重なり $ c $ の特定の値において、DeutschやMaassen-Uffinkの関係を上回る tighter な下界が得られるか？
• RQ4 $ c \leq \frac{1}{\sqrt{2}} $ の範囲で、下界が最適であるか。その場合、どのような条件下で成立するか？
• RQ5 幾何的最適化手法は、エントロピック不確定性定式化においてRiesz-Thorin定理が課す制限を回避できるか？

主な発見

• 一般化エントロピーの和に対する導出下界は、$ c \leq \frac{1}{\sqrt{2}} $ の範囲で最適であり、タイトな不確定性限界を提供する。
• R{\'e}nyiエントロピーの場合、新しい下界はすべてのエントロピー指数においてDeutschの下界を上回る。
• $ c \leq \frac{1}{2} $ の範囲では、Maassen-Uffinkの下界が依然として提案下界を上回る。
• H{"{o}}lder共役性制約を効果的に回避でき、不確定性関係の適用範囲を広げた。
• 下界は純状態および混合状態の両方に対して有効であり、一般性が向上した。
• 既存の結果との比較から、特に $ c \in \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right] $ の中間領域において、提案下界がよりタイトな不確実性推定を提供することが示された。