[論文レビュー] General existence and uniqueness of viscosity solutions for impulse control of jump-diffusions

Roland C. Seydel|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、跳躍拡散過程のインパulse制御に生じるハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン準変分不等式（HJBQVI）に対する一般化された粘性解の存在および一意性を、存在性には確率的手法、一意性には粘性解理論を用いて確立する。これは、粘性枠組みにおいて無限活性性のジャンプを有するインパルス制御を厳密に取り扱う初の研究であり、価値関数の事前連続性を仮定せず、有界でない解や二次的コストを許容する。

ABSTRACT

General theorems for existence and uniqueness of viscosity solutions for Hamilton-Jacobi-Bellman quasi-variational inequalities (HJBQVI) with integral term are established. Such nonlinear partial integro-differential equations (PIDE) arise in the study of combined impulse and stochastic control for jump-diffusion processes. The HJBQVI consists of an HJB part (for stochastic control) combined with a nonlocal impulse intervention term. Existence results are proved via stochastic means, whereas our uniqueness (comparison) results adapt techniques from viscosity solution theory. This paper is to our knowledge the first treating rigorously impulse control for jump-diffusion processes in a general viscosity solution framework; the jump part may have infinite activity. In the proofs, no prior continuity of the value function is assumed, quadratic costs are allowed, and elliptic and parabolic results are presented for solutions possibly unbounded at infinity.

研究の動機と目的

• 結合された確率的およびインパルス制御問題におけるHJBQVIの一般化された粘性解の存在および一意性の枠組みを確立すること。
• 原点における特異なジャンプ測度を有するLévy過程を含む、無限活性性ジャンプを有するジャンプ拡散過程を扱うこと。
• 従来の手法で一般的に仮定されている価値関数の連続性を事前に仮定する必要を排除すること。
• 楕円型および放物型の両設定において、無限大における二次的コストおよび有界でない解を許容すること。
• 取引コストや市場の非効率性を含む金融および保険応用に適用可能な強固な理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 動的計画原理を用いた確率的制御手法により、粘性解の存在を証明する。
• HJBQVIにおける非局所的インパルス干渉項を扱うために、粘性解技法を適応する。
• 価値関数が事前に連続でない場合でも、粘性解の比較原理を用いて一意性を確立する。
• 確率的連続性および一様推定を用いて、制御過程の抜出自時刻の制御を行う。
• より高い変動性を持つ支配過程を用いた比較枠組みを構築し、確率的収束の一様性を保証する。
• 放物型および楕円型HJBQVIの両方の設定に理論を適用し、有界でない領域および解をカバーする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 価値関数の連続性を仮定しないで、ジャンプ拡散過程におけるインパルス制御のHJBQVIに対する粘性解の存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 原点における特異なLévy測度を有する無限活性性ジャンプ過程を含む理論をどのように拡張できるか？
• RQ3 この枠組みは、無限大における二次的コストおよび有界でない解を扱えるか？
• RQ4 初期条件の弱収束の下で、制御過程の抜自時刻が確率的に収束するための条件は何か？
• RQ5 ジャンプを伴う非局所的インパルス作用素を扱う際に、比較原理をどのように適応できるか？

主な発見

• 価値関数の事前連続性を仮定せず、確率的手法により粘性解の存在が証明された。
• 非局所的HJBQVI構造に適応された比較原理を用いて、有界でない解に対しても一意性が確立された。
• 原点における特異なLévy測度を有するジャンプ拡散過程を含む、無限活性性ジャンプを有するプロセスを扱える枠組みが構築された。
• コスト関数に二次的コストが許容され、価値関数が無限大で有界でない可能性がある。
• 初期条件の弱収束の下で、制御過程の抜自時刻が確率的に収束することが、一様な確率的連続性推定により示された。
• 取引コストや結合された確率的およびインパルス制御を含む金融・保険応用に、厳密な理論的基盤が提供された。