[論文レビュー] General Existence of Solutions to Dynamic Programming Principle

Qing Liu, Armin Schikorra|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ゲーム理論的PDE近似に現れる離散的動的計画法（DPP）の解の一般的存在理論を確立する。Perron型の手法を離散的設定に適応させたものであり、標準的な粘性解理論が直接適用できない非線形PDE（無限大ラプラシアン、平均曲率流れ、p-ラプラシアンなど）に対しても、解の存在を保証する統一的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

We provide an alternative approach to the existence of solutions to dynamic programming equations arising in the discrete game-theoretic interpretations for various nonlinear partial differential equations including the infinity Laplacian, mean curvature flow and Hamilton-Jacobi type. Our general result is similar to Perron's method but adapted to the discrete situation.

研究の動機と目的

• ゲーム理論的PDE近似に現れる離散的動的計画方程式（DPP）の解の一般的存在結果を提供すること。
• 既存のアプローチが特定のPDE構造に依存するのを克服し、離散的設定にPerronの方法を拡張すること。
• 無限大ラプラシアン、平均曲率流れ、p-ラプラシアンを含むさまざまな非線形PDEのDPPを統一的に取り扱う枠組みを提供すること。
• 連続極限に依存しない、DPP作用素に対する最小限の構造的仮定のもとで解の存在を確立すること。
• 積分的または可測関数空間を含む状況における副解・上解の閉包性と有界性の課題に対処すること。

提案手法

• DPP作用素を用いた点での不等式による副解・上解の定義を通じて、Perronの方法を離散的動的計画方程式に適応する。
• すべての副解の点毎の上界として定義される最大副解と、すべての上解の下界として定義される最小上解を導入する。
• 最大副解が定義域の各点でDPPを満たす場合、最大原理を用いてそれが解であることを証明する。
• 離散的最大原理を用いて副解・上解の有界性を確立し、境界データに基づく一様な有界性を保証する。
• 比較原理を用いて解の一意性を保証し、任意の副解が任意の上解によって上から押さえられることを証明する。
• 具体的なDPPに対して手法を検証する。特に、無限大ラプラシアンのためのたるみ戦ゲーム（tug-of-war）DPP、平均曲率流れのための放物型DPP、p-ラプラシアンのための積分型DPPを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続極限や特定のPDE構造に依存しない、離散的動的計画方程式の一般解の存在理論を構築できるか？
• RQ2 ゲーム理論的PDE近似に現れる離散的・非局所的作用素に対して、Perronの方法をどのように適応できるか？
• RQ3 副解の点毎の上界がDPPの解であるための条件は何か？
• RQ4 副解・上解の集合の有界性と閉包性を保証するためのDPP作用素に対する最小限の仮定は何か？
• RQ5 可測関数を含む積分型DPP（例：p-ラプラシアンのためのDPP）へこの手法を拡張できるか？

主な発見

• すべての副解の点毎の上界として定義される最大副解が、定義域の内部の各点でDPP不等式を満たす場合、それはDPPの解である。
• 離散的最大原理が成立する：任意の副解は境界データの上界によって押さえられ、任意の上解は境界データの下界によって押さえられる。
• 比較原理が成立する場合、DPPの解は一意的である。これは摂動論的議論と一様収束を用いて確立される。
• 無限大ラプラシアンに対しては、tug-of-war DPPを用いて手法が適用可能であり、値関数は $ u^\varepsilon(x) = \frac{1}{2}\sup_{B_\varepsilon(x)}u^\varepsilon + \frac{1}{2}\inf_{B_\varepsilon(x)}u^\varepsilon $ を $ \Omega $ 内で満たす。
• 平均曲率流れをモデル化する放物型DPPに対しても、時間進みステップを含み、$ u(x,t) = T[u(x,t-\varepsilon^2)] $ を満たす。
• 積分項とsup-inf項を含むp-ラプラシアンDPPに対しても、適切な仮定の下で解の存在が保証されるが、可測性制約のため解集合の閉包性はさらなる解析を要する。