[論文レビュー] General form of deformation of Poisson superbracket

S. E. Konstein, I. V. Tyutin+1 more|ArXiv.org|Jan 6, 2004

Advanced Topics in Algebra被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コhomologicalな手法を用いて、Grassmann代数に値をとる滑らかでcompactly supporedな関数上のPoisson superbracketの連続的かつ形式的な変形の一般形を導出する。標準的なMoyal bracketとは異なる変形が存在し、それらは商空間 $
𝔵^{n_-}_{n_+}/
𝔵^{n_-}_{n_+}$ 内の偶関数によってパラメータ化される。ジャコビ恒等式およびsupporth条件を満たす制約が課され、超多様体の変形量子化における新しい量子的構造が明らかになる。

ABSTRACT

Continuous formal deformations of the Poisson superbracket defined on compactly supported smooth functions on R^n taking values in a Grassmann algebra are described up to an equivalence transformation. It is shown that there are additional deformations which are different from the standard Moyal bracket.

研究の動機と目的

• 滑らかでcompactly supporedな関数（Grassmann代数に値をとる）上のPoisson superbracketの、すべての連続的かつ形式的な変形を分類すること。
• 混合ボソン的およびフェルミオン的座標を持つ超多様体への変形量子化の拡張。
• 特にGrassmann変数を含む状況下で、標準的なMoyal bracketと同値でない変形を特定すること。
• このような変形が代数的構造およびsupporth性質を保つための条件を特定すること。
• コhomologicalな制約および同値変換が、変形の全空間を分類する上での役割を確立すること。

提案手法

• Poisson superbracketの変形を、$\hbar^2$ の形式的べき級数展開で表し、$C(f,g) = \{f,g\} + \hbar^2 C_1(f,g) + \cdots$ とする。
• 2-コサイクル $C_j$ が満たす $d^\text{ad}_2 C_1 = 0$ を満たす、随伴表現を係数とするChevalley–Eilenbergコhomology理論を適用して分類する。
• 各 $\hbar^2$ の次数でジャコビ恒等式を課し、高次項 $C_j$ に対するコhomologicalな条件を導出する。
• $\mathbb{K}[[\hbar^2]]$-線形作用素 $T$ を用いた同値変換を実行し、変形を標準形に簡略化する。
• 一般解として $C(z|f,g) = \mathcal{N}_{\kappa_{[\infty]},\zeta_{[\infty]},c_{2[\infty]}}(z|f,g)$ を特定し、ここで $\zeta_{C\infty}(z)$ はcompactly supporedな関数に関して奇関数である。
• パラメータ $\kappa_{[\infty]}$, $\zeta_{[\infty]}$, および $c_{2[\infty]}$ を制限するため、supporthおよび可積分性条件を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Grassmann値関数上のPoisson superbracketの変形で、Moyal bracketと同値でないものは存在するか？
• RQ2 同値変換の下で、Poisson superbracketの連続的かつ形式的な変形の完全な集合は何か？
• RQ3 $d^\text{ad}_2 C_j = 0$ から生じるコhomological制約は、高次項の変形形をどのように制限するか？
• RQ4 商空間 $\mathbf{E}^{n_-}_{n_+}/\mathbf{D}^{n_-}_{n_+}$ 及びその奇関数的要素が、新しい変形を生成する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $\kappa_{[n]}$, $\zeta_{[n]}$, および $c_{2[n]}$ のパラメータにどのような条件下で、変形がcompactly supporedな関数の空間にとどまるか？

主な発見

• *$-交換子の一般形は $C(z|f,g) = \mathcal{N}_{\kappa_{[\infty]},\zeta_{[\infty]},c_{2[\infty]}}(z|f,g)$ であり、ここで $\zeta_{C\infty}(z)$ は $\mathbf{E}^{n_-}_{n_+}/\mathbf{D}^{n_-}_{n_+}$ 内の奇関数である。
• Moyal bracketを超える追加の変形が存在し、それらは $\mathbf{E}^{n_-}_{n_+}/\mathbf{D}^{n_-}_{n_+}$ 内の非自明な要素（奇関数的パリティ）によってパラメータ化される。
• $[\mathcal{M}_{\kappa_{[\infty]}}(z|\zeta_{C[\infty]},\zeta_{C[\infty]}) + c_{2[\infty]}] \in \mathbf{D}^{n_-}_{n_+}$ という条件が、変形がcompactly suppored性を保つことを保証する。
• 係数 $c_{42}$ は恒等的に消えるため、体積的汎関数 $V(z|f,g)$ を含む可能性のある項が排除される。
• 高次項 $C_j$ はコhomological条件 $d^\text{ad}_2 C_j' = 0$ によって制限され、$P(z|f,g)$, $V(z|f,g)$, および $d^\text{ad}_1$ からのコバウンダリー項を含む解が得られる。
• 同値変換により、変形を標準形に簡略化でき、すべての $\hbar^{2k}$ 項が $\mathcal{N}$ 構造に吸収され、残りの独立した自由度は $\zeta_{C\infty}$ および $c_{2[\infty]}$ パラメータのみとなる。