[論文レビュー] General form of quantum mechanics with noncommutative coordinates

Vladislav Kupriyanov|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2012

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 1被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、座標の非可換性を演算子値構造 $ hat{\omega}_{ij}(\hat{x})$ で記述するように、ヘイゼンベルク代数を拡張することで、非可換量子力学の一般枠組みを構築する。多微分表現を構築し、トレース関数を用いて自己随伴性を強制することで、曲がった非可換空間内の自由粒子のような系に対しても一貫性のある定式化が可能になる。

ABSTRACT

Noncommutative quantum mechanics can be considered as a first step in the con- struction of noncommutative quantum field theory of generic form. In this paper we discuss the mathematical framework of the non-relativistic quantum mechanics with coordinate operators satisfying the algebra � ˆ x i , ˆ j � = i�ˆ ! ij (ˆx), where ˆ ! ij (ˆx) is some given operator describing the noncommutativity of the space andis the parameter of noncommutativity. First we introduce the momenta operators ˆ pi conjugated to the corresponding coordinates and construct the complete algebra of commutation relations between these operators as a deformation inof a standard Heisenberg algebra. Then we construct a polydifferential representation of this algebra as a deformation of coordinate representation of the Heisenberg algebra. To fix the ar- bitrariness in our construction we require that the phase space operators should be self-adjoint with respect to the trace functional defined on the above algebra. As an example we consider a free particle in curved noncommutative space.

研究の動機と目的

• 非可換座標を含む量子力学を一般化し、交換関係 $[\hat{x}_i, \hat{x}_j] = i\theta \hat{\omega}_{ij}(\hat{x})$ が演算子に依存するようにすること。
• 標準的なヘイゼンベルク代数を拡張し、運動量演算子 $\hat{p}_i$ を導入し、変形としての完全な交換関係代数を導出すること。
• 変形された代数の多微分表現を、標準的な座標表現の変形として構築すること。
• 位相空間の演算子が代数上に定義されたトレース関数に関して自己随伴であることを要求することで、表現の不確実性やゲージの不確実性を解消すること。
• 具体的な例として、曲がった非可換空間内の自由粒子を用いて、この枠組みの適用可能性を示すこと。

提案手法

• 空間的非可換性を記述する $\hat{\omega}_{ij}(\hat{x})$ を用いて、$[\hat{x}_i, \hat{x}_j] = i\theta \hat{\omega}_{ij}(\hat{x})$ で定義される非可換代数を構築する。
• 共役運動量 $\hat{p}_i$ を導入し、$\hat{x}_i$, $\hat{p}_j$, および $\hat{p}_i$, $\hat{p}_j$ 間の変形された交換関係を、標準的なヘイゼンベルク代数の変形として導出する。
• 変形された代数の多微分表現を構築し、非可換幾何学への一般化を図る。
• すべての位相空間の演算子が、代数上に定義されたトレース関数に関して自己随伴であると仮定することで、表現の不確実性やゲージの不確実性を固定する。
• 形式的枠組みを曲がった非可換空間内の自由粒子に適用し、枠組みの整合性と物理的妥当性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 演算子値構造定数を有する非可換座標を含むヘイゼンベルク代数を、一貫性を持って変形する方法は何か？
• RQ2 このような非可換枠組みにおいて、座標と運動量の間の完全な交換関係代数は何か？
• RQ3 物理的整合性を保ちつつ、変形された代数の多微分表現をどのように構築できるか？
• RQ4 非可換設定において、位相空間の演算子の自己随伴性を保証する条件は何か？
• RQ5 この枠組みは、曲がった非可換空間内の自由粒子のような物理的系を記述できるか？

主な発見

• 本論文は、演算子値構造定数 $\hat{\omega}_{ij}(\hat{x})$ を有する非可換座標を含む変形ヘイゼンベルク代数を成功裏に構築した。
• 標準的な座標表現の一般化として、変形された代数の多微分表現が導出された。
• トレース関数に関して自己随伴であるという要請が、表現の不確実性を一意に固定した。
• 枠組みは、曲がった非可換空間内の自由粒子に適用され、その整合性と物理的関連性が示された。
• 非可換量子場理論への基礎的ステップを提供するため、曲がった空間と非可換空間構造を含む量子力学の一般化がなされた。