[論文レビュー] General framework for a portfolio theory with non-Gaussian risks and non-linear correlations

Yannick Malevergne, Didier Sornette|ArXiv.org|Mar 1, 2001

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、修正ワイブル分布を用いて資産リターンの周辺分布をモデル化し、ガウス・コプヤを用いて依存構造を扱うことで、非ガウス的リスクおよび非線形相関を考慮した一般化されたポートフォリオ理論フレームワークを開発する。ポートフォリオリターンの裾尾、モーメント、リスク指標について正確な解析的表現を導出し、期待リターンを向上させつつ大きなリスクを低減できる最適化を可能にし、『ケーキを食べながらも持てあそぶ』という状況を実現する。強固な実証的妥当性が確認されている。

ABSTRACT

Using a family of modified Weibull distributions, encompassing both sub-exponentials and super-exponentials, to parameterize the marginal distributions of asset returns and their natural multivariate generalizations, we give exact formulas for the tails and for the moments and cumulants of the distribution of returns of a portfolio make of arbitrary compositions of these assets. Using combinatorial and hypergeometric functions, we are in particular able to extend previous results to the case where the exponents of the Weibull distributions are different from asset to asset and in the presence of dependence between assets. We treat in details the problem of risk minimization using two different measures of risks (cumulants and value-at-risk) for a portfolio made of two assets and compare the theoretical predictions with direct empirical data. While good agreement is found, the remaining discrepancy between theory and data stems from the deviations from the Weibull parameterization for small returns. Our extended formulas enable us to determine analytically the conditions under which it is possible to ``have your cake and eat it too'', i.e., to construct a portfolio with both larger return and smaller ``large risks''.

研究の動機と目的

• 非ガウス的リターン分布および資産間の非線形的依存関係を考慮したポートフォリオ理論の一般枠組みを構築すること。
• ガウス仮定を越えて、厚尾・超指数的・低指数的リターン分布をモデル化することで、伝統的なマークォーツ・ポートフォリオ理論を拡張すること。
• 任意の資産ウェートと依存構造に対して、ポートフォリオリターンの裾尾およびモーメントの正確な解析的公式を提供すること。
• 期待リターンを向上させつつ、大きなリスク（例：VaRや高次モーメント）を低減できるポートフォリオ最適化を可能にすること。
• 理論的予測が金融時系列データとどの程度一致するかを実証的に検証し、小さなリターンにおけるワイブルパラメータズーションからの逸脱に起因する残差的乖離を同定すること。

提案手法

• 資産リターンの周辺分布を、ガウス分布・低指数的・超指数的形態を特別ケースとして含む修正ワイブル分布でパラメータ化する。
• 経験的周辺分布をガウス分布に非線形写像で投影し、その後エントロピー最大化を用いてガウス・コプヤを介した多変量分布を構築する。
• 異なる指数および依存度に対して、組み合わせ論的および超幾何関数を用いて、ポートフォリオリターンの尾部挙動の正確な解析的表現を導出する。
• 任意の正の指数および任意の資産数に対して、ポートフォリオリターンのモーメントの一般化された公式を導出し、2資産ポートフォリオに対して明示的な閉形式表現を提供する。
• 高次モーメント（リスク指標として）およびVaRを用いたリスク最小化に本フレームワークを適用し、理論的予測と実証データを比較する。
• ラグランジュ乗数を用いて、高次モーメントを最小化する最適ポートフォリオウェートを導出し、リターンと大規模リスク低減の両立最適化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 期待リターンを向上させつつ、大きなリスクを同時に低減できるポートフォリオを構築することは可能か。これは伝統的なリスク・リターンのトレードオフを覆すものである。
• RQ2 個々の資産が異なる指数を有する修正ワイブル分布に従う場合、ポートフォリオリターンの尾部分布の解析的形態はどのようなものか。
• RQ3 一般化された依存構造および非ガウス的周辺分布下で、ポートフォリオリターンのモーメント（特に高次モーメント）はどのように振る舞うか。
• RQ4 修正ワイブル分布およびガウス・コプヤモデルに基づく理論的予測は、リスクおよびリターン指標に関して、実際の金融時系列データとどの程度一致するか。
• RQ5 高いリターンと大きなリスクの低減を同時に達成できるポートフォリオが成立するための資産のモーメントおよび期待リターンに関する条件は何か。また、そのようなポートフォリオはどのように解析的に構築できるか。

主な発見

• ポートフォリオリターンの尾部は、個々の資産と同一の指数を持つ修正ワイブル形式に漸近的に従うが、特徴的なスケール χ は資産ウェート、依存強度、および指数 c に依存する。
• 2資産ポートフォリオにおいては、超幾何関数を用いてモーメントの明示的解析的表現が導出され、ガンマ関数および相関係数 ρ に依存する項を含む閉形式解が得られる。
• 実証的キャリブレーションにより、理論的モーメントと金融時系列から数値的に計算されたモーメントとの間に強い一致が確認されたが、小さなリターンにおける乖離はワイブルパラメータズーションからの逸脱に起因する。
• 本フレームワークにより、期待リターンを向上させつつ、大きなリスク（例：VaRや高次モーメント）を低減できるポートフォリオの解析的構築が可能となり、『ケーキを食べながらも持てあそぶ』という可能性の形式的裏付けが得られた。
• ラグランジュ乗数を用いて、高次モーメントを最小化する最適ウェートを閉形式で導出し、ウェートは n 階のモーメントの逆数の (n−1) 乗根に比例することが示された。
• n 階のモーメントを最小化するポートフォリオが、n+k 階のモーメントを最小化するポートフォリオよりも高いリターンを達成するための条件が導出され、その条件は資産間のモーメントおよび期待リターンの相対的スケーリングに依存することが示された。