[論文レビュー] General Hamiltonian Representation of ML Detection Relying on the Quantum Approximate Optimization Algorithm

Jingjing Cui, Gui‐Lu Long+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）を用いて、無線通信システムにおける最大尤度（ML）検出のための新しい量子古典的アプローチを提案する。ML検出を重み付き最小N充足可能性問題（WMIN-N-SAT）に再定式化し、擬似ブール関数を介して問題ハミルトニアンを構築することで、グレイ符号化されたM値QAMおよびQPSK信号点対応において、同相成分と quadrature 成分が独立していることが示され、分離検出が可能となる。主な貢献は、送信アンテナ数がN_tである場合、WMIN-N-SAT定式化における目的関数の次数がN_I × N_tであることを証明したことであり、これによりハミルトニアンの構築が簡略化され、NISQデバイス上で効率的なQAOA実装が可能となる。QPSKにおいて、回路深さ3のとき、実証された近似比は最大0.92に達する。

ABSTRACT

The quantum approximate optimization algorithm (QAOA) conceived for solving combinatorial optimization problems has attracted significant interest since it can be run on the existing noisy intermediate-scale quantum (NISQ) devices. A primary step of using the QAOA is the efficient Hamiltonian construction based on different problem instances. Hence, we solve the maximum likelihood (ML) detection problem for general constellations by appropriately adapting the QAOA, which gives rise to a new paradigm in communication systems. We first transform the ML detection problem into a weighted minimum $N$-satisfiability (WMIN-$N$-SAT) problem, where we formulate the objective function of the WMIN-$N$-SAT as a pseudo Boolean function. Furthermore, we formalize the connection between the degree of the objective function and the Gray-labelled modulation constellations. Explicitly, we show a series of results exploring the connection between the coefficients of the monomials and the patterns of the associated constellation points, which substantially simplifies the objective function with respect to the problem Hamiltonian of the QAOA. In particular, for an M-ary Gray-mapped quadrature amplitude modulation (MQAM) constellation, we show that the specific qubits encoding the in-phase components and those encoding the quadrature components are independent in the quantum system of interest, which allows the in-phase and quadrature components to be detected separately using the QAOA. Furthermore, we characterize the degree of the objective function in the WMIN-$N$-SAT problem corresponding to the ML detection of multiple-input and multiple-output (MIMO) channels. Finally, we evaluate the approximation ratio of the QAOA for the ML detection problem of quadrature phase shift keying (QPSK) relying on QAOA circuits of different depths.

研究の動機と目的

• 高次変調を伴うMIMOシステムにおけるML検出のNP困難性に対処すること。
• 近い将来のノイズの多い中規模量子（NISQ）デバイス上でML検出を実用的に実装すること。
• 量子最適化を用いて一般の変調信号点対応に特化した問題ハミルトニアンを体系的に構築する手法を開発すること。
• WMIN-N-SAT定式化における目的関数の次数を特定することにより、QAOA回路の複雑さを決定する要因を同定すること。
• QPSKおよびMQAM信号点対応におけるQAOAの近似比という観点から、性能を評価すること。

提案手法

• ML検出問題を、擬似ブール目的関数を有する重み付き最小N充足可能性問題（WMIN-N-SAT）に再定式化する。
• WMIN-N-SAT目的関数を、キュービットに作用するパウリ-Z演算子の和にマッピングすることで、問題ハミルトニアンを構築する。
• グレイ符号化された信号点の構造を活用し、同相成分と直交成分が独立していることを示し、分離検出が可能であることを示す。
• 目的関数内の単項式の係数について解析的表現を導出し、ビットパターンに基づくキャンセルパターンを示す。
• 送信アンテナ数がN_tである場合、目的関数の次数がN_I × N_tであることを証明する（N_Iは1信号点あたりの同相ビット数）。
• 回路深さ（最大3）を変化させたQAOA回路を用いてQPSKの近似比を評価し、0.92までの性能を示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の信号点対応におけるML検出を、QAOAに適した形式にどのようにマッピングできるか？
• RQ2 QPSKおよびMQAM信号点対応のMIMOシステムにおいて、WMIN-N-SAT定式化における目的関数の次数は何か？
• RQ3 グレイ符号化の構造は、ハミルトニアンの簡略化および単項式係数にどのように影響するか？
• RQ4 M値QAMにおいて、QAOAフレームワーク内で同相成分と直交成分を独立して取り扱うことができるか？
• RQ5 回路深さを増加させた場合、QPSK検出におけるQAOAの達成可能な近似比は何か？

主な発見

• 送信アンテナ数がN_tである場合、WMIN-N-SAT定式化における目的関数の次数はN_I × N_tであり、これにより必要なQAOA回路深さが決定される。
• QPSKの場合、目的関数の次数はN_tであり、QAOA回路深さ3のとき、近似比は0.92に達する。
• グレイ符号化されたMQAMでは、同相成分と直交成分が独立しており、分離検出が可能となり、回路複雑度が低減される。
• 目的関数における次数がN_I × N_tを超える単項式の係数は、対称的な信号点パターンに起因するキャンセルにより0になる。
• 1つの信号点（N_t = 1）の場合、目的関数の次数はN_I = ⌈N/2⌉となる（Nは総ビット数）。
• 次数N_I × N_tの単項式は非ゼロの係数を持つためキャンセルされず、目的関数の正確な次数が確認される。