[論文レビュー] General homogenization of bending-torsion theory for inextensible rods from 3D elasticity

Maroje Marohnić, Igor Velčić|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、材料微細構造に周期性を仮定せずに、3次元非線形弾性からのΓ収束を用いて、均質化された曲げねじりひずみロッドモデルを導出する。部分列に関して、極限エネルギーは常に曲げねじりひずみロッドモデルを生じることを確立し、一般の均質化および次元削減の下で抽象的な極限二次形式を同定する。

ABSTRACT

We derive, by means of Gamma-convergence, the equations of homogenized bending rod starting from $3D$ nonlinear elasticity equations. The main assumption is that the energy behaves like h^2 (after dividing by the order h^2 of vanishing volume) where h is the thickness of the body. We do not presuppose any kind of periodicity and work in the general framework. The result shows that, on a subsequence, we always obtain the equations of bending-torsion rod and identifies, in an abstract formulation, the limiting quadratic form connected with that model. This is a generalization from periodic to non-periodic homogenization of bending-torsion rod theory already present in the literature.

研究の動機と目的

• 周期性を仮定しない状況において、3次元非線形弾性から均質化された曲げねじりひずみロッドモデルを厳密に導出すること。
• 従来の周期的均質化結果を、周期的でない一般の枠組みに拡張すること。
• 一般の均質化および次元削減の下で、Γ極限における極限二次形式を同定すること。
• 不変長の状況において、エネルギー列が $ h^2 $ スケーリングで曲げねじりひずみロッドモデルに収束することを確立すること。
• Γ収束技法の適用範囲を、曲げおよびねじり挙動を示す周期的でない不均一なロッド構造に拡大すること。

提案手法

• エネルギースケーリング $ h^2 $ の下で、3次元非線形弾性から1次元ロッドモデルへのΓ収束を用いる。ここで $ h $ はロッドの厚さを表す。
• 変形を制御し、ひずみ場の極限的挙動を抽出するために、一般化された幾何学的剛性定理を適用する。
• 周期性が存在しない状況において、Grisoの分解にインspされた分解補題を用いた、2スケール収束に類似した議論を実施する。
• Sobolevノルムにおける有界性を保証するために、変形列の拡張および周期的反復近似を構築する。
• de la Vallée Poussinの基準を用いて勾配の等積分性を確立し、$ L^p $ 空間における弱収束を可能にする。
• Casado-Díazらに帰属する分解結果に依存し、部分列における極限場の局所化および再構成を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 材料微細構造に周期性を仮定しない状況でも、曲げねじりひずみロッドモデルを3次元弾性から導出可能か？
• RQ2 不変長ロッドの場合に、均質化と次元削減を同時に適用したときの極限エネルギー関数形は何か？
• RQ3 一般の非周期的材料の摂動下でΓ極限はどのように振る舞い、極限二次形式の構造は何か？
• RQ4 周期性を仮定しない状況で、Γ極限が曲げねじりひずみロッドモデルを生じる条件は何か？
• RQ5 一般の非周期的枠組みにおいて、エネルギー列がΓ収束によって曲げねじりひずみモデルに収束することを確立できるか？

主な発見

• エネルギー列のΓ極限は、$ h^2 $ スケーリングおよび不変長ロッド領域において、部分列に関して常に曲げねじりひずみロッドモデルを生じる。
• 極限エネルギーは、周期性に依存しない曲げおよびねじり剛性を捉える抽象的な二次形式によって特徴づけられる。
• 周期性を仮定しない一般の均質化のもとで導出が成立し、振動的材料構造を必要とする従来の結果を拡張する。
• Sobolevノルムおよび等積分性の性質を活用した、変形列の精緻な分解により収束が確立される。
• この方法により、非周期的微細構造を有する場合でさえ、曲げねじりひずみモデルが3次元弾性の薄いロッド領域における自然な極限として生じることが確認される。
• Neukammらの周期的均質化に関する先行研究を、完全に非周期的状況に一般化する結果が得られた。