[論文レビュー] General indifference pricing with small transaction costs

Dylan Possamaï, Guillaume Royer|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 59被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、小規模な為替手数料を伴う多次元的一般マルコフ型モデルにおいて、ユーティリティインディフェレンス価格の厳密な漸近展開を、均質化法と可視性解法を用いて確立する。先行研究の1次元モデルに限った結果を一般化し、任意のユーティリティ関数およびリスク資産の動的構造に適用可能な包括的な枠組みを提供する。1次補正項は、エルゴディック制御問題と固有値構造から明示的に導出され、以前の研究と比較して配当関数の正則性仮定を弱める。

ABSTRACT

We study the utility indifference price of a European option in the context of small transaction costs. Considering the general setup allowing consumption and a general utility function at final time T, we obtain an asymptotic expansion of the utility indifference price as a function of the asymptotic expansions of the utility maximization problems with and without the European contingent claim. We use the tools developed in [54] and [48] based on homogenization and viscosity solutions to characterize these expansions. Finally we study more precisely the example of exponential utilities, in particular recovering under weaker assumptions the results of [6].

研究の動機と目的

• 小規模な為替手数料を伴う多次元モデルにおけるユーティリティインディフェレンス価格の厳密な漸近展開が、これまで不足していたことの解消。
• SonerとTouzi（2013）の均質化に基づくアプローチを、1次元の設定にとどまらず、一般のユーティリティ関数および多次元リスク資産へと拡張すること。
• エルゴディック制御問題と固有値特徴付けを用いて、ユーティリティインディフェレンス価格の1次補正項を統一的に計算する枠組みの提供。
• 以前の研究（例：Bichuch, 2013）が要求したC⁴正則性ではなく、C¹正則性で十分であることを示し、配当請求権の正則性要件を緩和すること。
• 取引コストを伴う最適投資問題と伴わない場合の漸近的挙動の厳密な関連付けを確立し、正確な価格近似を可能にする。

提案手法

• 小規模な為替手数料下での価値関数の漸近的挙動を分析するために、均質化理論を用いる。
• 取引コストを伴う最適投資・消費問題の動的計画方程式を、可視性解法を用いて特徴付ける。
• リスク資産を含む条件付き請求権を伴う・伴わないユーティリティ最大化問題の価値関数について、形式的かつ厳密な漸近展開を構築する。
• 請求権を伴う・伴わない価値関数の展開を比較することで、ユーティリティインディフェレンス価格の1次補正項を導出する。
• 展開の主要項の構築に、エルゴディック確率的制御問題の固有値を鍵とする。
• コンパクト性と剰余項の一様有界性を活用して、展開の有効性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の多次元マルコフ型モデルにおいて、小規模な為替手数料を伴うヨーロピアン・オプションのユーティリティインディフェレンス価格は、どのように漸近展開可能か？
• RQ2 1次補正項の明確な形態は何か？ また、取引コスト構造に関連するエルゴディック制御問題とどのように関係しているか？
• RQ3 漸近展開は、基礎となるユーティリティ関数およびリスク資産の動的構造にどのように依存するか？
• RQ4 C⁴正則性ではなくC¹正則性で十分な場合、漸近展開の有効性は保たれるか？
• RQ5 エルゴディック制御問題の固有値が、ユーティリティインディフェレンス価格の主要項を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• ユーティリティインディフェレンス価格の1次補正項は、エルゴディック確率的制御問題の固有値によって特徴付けられ、計算可能で解釈可能な表現を提供する。
• 一般のユーティリティ関数および多次元モデルにおいて、ユーティリティインディフェレンス価格の漸近展開が厳密に確立され、以前の1次元モデルの結果を拡張する。
• 同じ枠組みのもとで、配当請求権の正則性要件をBichuch（2013）のC⁴からC¹に緩和し、適用可能な請求権のクラスを著しく拡大する。
• 剰余項が為替手数料が0に近づくとともに、近似パラメータnが無限大に近づく際、一様に消えることが示され、可視性解の意味で収束が保証される。
• 1次まで一致する下位解と上位解を構築することで、ホモジゼーション理論に基づく摂動論的議論により、漸近展開の妥当性を検証する。
• エルゴディック固有値を用いることで、市場パラメータとユーティリティ関数に依存するが、特定の配当関数の1次行動以外には依存しない、主要項の明示的計算が可能となる。