[論文レビュー] General Logic-Systems that Determine Significant Collections of Consequence Operators

Robert A. Herrmann|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2006

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、可算言語上での有限帰結作用素のラティス的枠組みにおいて、一般論理体系を導入し、有限帰結作用素のラティスが下に有界でないことを示し、連続体濃度を有することを証明する。また、各有限帰結作用素が可算無限個の一般論理体系によって生成可能であり、推論規則の異なる順列が同じ作用素に対して異なる体系を生じることを示す。

ABSTRACT

In this paper, general logic-systems and a necessary and sufficient algorithm are used to substantiate significant consequence operator properties. It is shown, among other results, that, in certain cases, (1) if the number of steps in a deduction is restricted, then such deduction does not yield a consequence operator. (2) In general, for any non-organized infinite language L, there is a special class of finite consequence operators that is not meet-complete. (3) For classical deduction, three different examples of modified propositional deduction yield collections of finite consequence operators that are not meet-complete. Other general logic-system examples are given. In a final section, the notion of potentially finite is investigated.

研究の動機と目的

• 一般論理体系を基盤的枠組みとして用いて、有限帰結作用素を調査すること。
• 可算言語上での有限帰結作用素のラティスが下に有界でないことを示すこと。
• 可算言語上でのすべての有限帰結作用素の集合が連続体濃度を有することを確立すること。
• 各有限帰結作用素が可算無限個の一般論理体系によって生成可能であることの証明。
• 言語固有の性質が有限帰結作用素の挙動に与える影響を調査すること。

提案手法

• 言語 L 上で固定された有限または無限の n 進推論規則の集合によって定義される一般論理体系を用いる。
• 前公理と推論規則に基づく帰納アルゴリズムを適用して帰結集合を生成する。
• 推論規則の前提の順序を変更することで、同一の帰結作用素を生成する異なる一般論理体系を構成する。
• 各 n ≥ 2 に対して、同じ有限帰結作用素を生成する n! 種の異なる一般論理体系が存在することを示す。
• 組織的でない言語（単語形成規則のみを仮定）を用いることで、意図しない代数的または論理的構造の埋め込みを回避する。
• GGUモデルおよび超有限論理体系とスーパー代理人を用いた知能測定にこの枠組みを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般論理体系は、有限帰結作用素の非空集合のラティス的上限を特徴づけることができるか？
• RQ2 可算言語上での有限帰結作用素のラティスは下に有界か？
• RQ3 可算言語上で定義されたすべての有限帰結作用素の集合の濃度は何か？
• RQ4 同じ有限帰結作用素を生成する異なる一般論理体系はいくつ存在するか？
• RQ5 有限帰結作用素の性質は、基礎となる言語構造にどの程度依存するか？

主な発見

• 非空な集合の下界が存在しないことを構成的に示すことにより、可算言語上での有限帰結作用素のラティスが下に有界でないことが示された。
• 可算言語上でのすべての有限帰結作用素の集合は連続体濃度を有する。
• 言語 L 上の任意の有限帰結作用素 C に対して、C を生成する可算無限個の異なる一般論理体系が存在する。
• 各 n ≥ 2 に対して、推論規則の前提の順序を並び替えることで、同じ有限帰結作用素 C を生成する n! 種の異なる一般論理体系が得られる。
• 推論規則の座標の異なる順列は、同じ帰結作用素を生成しても非同型な一般論理体系を生じる。
• この枠組みは、超有限論理体系とスーパー代理人を用いた知能の形式的測定を可能にし、超帰納により通常の代理人では到達できない結論を得ることが可能である。