[論文レビュー] General Lp affine isoperimetric inequalities

Christoph Haberl, Franz E. Schuster|ArXiv.org|Sep 11, 2008

Point processes and geometric inequalities参考文献 44被引用数 118

ひとこと要約

本稿は、$L_p$射影体を用いて定義される$\Pi_p^+K$および$\Pi_p^-K$のミンコフスキー結合に基づく、$L_p$射影体の包括的な家族における$L_p$アフィン等周不等式を確立し、$L_p$ペティ射影不等式を一般化する。$\Pi_p^+K$と$\Pi_p^-K$のミンコフスキー結合によって定義されるすべての$L_p$射影体の中で、体積が最大となるのは楕円体であり、その中で最も強い2つの不等式が特定され、それらが既存のすべての結果を含意することが示された。

ABSTRACT

Sharp Lp affine isoperimetric inequalities are established for the entire class of Lp projection bodies and the entire class of Lp centroid bodies. These new inequalities strengthen the Lp Petty projection and the Lp Busemann--Petty centroid inequality.

研究の動機と目的

• Minkowski結合$\Pi_p^+K$と$\Pi_p^-K$を用いて定義されるすべての$L_p$射影体への$L_p$ペティ射影不等式の拡張。
• $L_p$射影体の族の中で最も強い不等式を同定し、それらが既に知られている結果を含意することを示すこと。
• $L_p$ブラシュケ＝サントラルォ不等式におけるギャップを解消し、原点対称でない任意の凸体に対しても有効な正しい$L_p$類似形を確立すること。
• バリエーション理論と$L_p$ミンコフスキー加法を用いて、$L_p$アフィン等周不等式の理論を統合的かつ一般化すること。

提案手法

• 著者らは、$c_1, c_2 \geq 0$ で両者が0でない条件下で、$\Phi_pK = c_1 \cdot \Pi_p^+K +_p c_2 \cdot \Pi_p^-K$ と定義される$L_p$射影体の2パラメータ族を導入する。
• $L_p$ブリュン＝ミンコフスキー不等式および$L_p$ミンコフスキー不等式を用いて、$L_p$ミンコフスキー結合における体積の挙動を分析する。
• 変分的技法を用い、体積関数 $V(\mathrm{M}_p^\tau L)^{1/n}$ に対するパラメータ$\tau$に関する微分を計算し、微分可能性および臨界点の条件を確立する。
• 体積が最大となる臨界点$\bar{\tau}$を分析し、$\bar{\tau} = 0$ が唯一の解であることを示し、最大化子の対称性を示す。
• 証明は、$L_p$ミンコフスキー不等式および表面積測度の収束を用いて、等号成立の必要十分条件を導出する。
• 支持関数、表面積測度、および$L_p$混合体積$V_p(Q,K)$の使用を通じて、極値をとる体の特徴づけを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された$K$に対して、$c_1 \cdot \Pi_p^+K +_p c_2 \cdot \Pi_p^-K$ で定義される$L_p$射影体の中で、極体の体積を最大にするのはどれか？
• RQ2 新しい$L_p$アフィン等周不等式は、古典的な$L_p$ペティ射影不等式および$L_p$ブラシュケ＝サントラルォ不等式とどのように関係しているか？
• RQ3 $L_p$射影体の族の中で、最も強い不等式は何か？ そして、それらはすべての弱い不等式を含意するか？
• RQ4 原点対称な凸体に限らないすべての凸体に対して、古典的不等式に還元される正しい$L_p$類似形のブラシュケ＝サントラルォ不等式を確立できるか？
• RQ5 体積関数 $V(\mathrm{M}_p^\tau L)$ が最大になる条件は何か？ また、最大化子はどのような対称性を持つか？

主な発見

• $L_p$ペティ射影不等式は、$\Phi_pK = c_1 \cdot \Pi_p^+K +_p c_2 \cdot \Pi_p^-K$ として定義されるすべての$L_p$射影体に一般化され、すべての$K \in \mathcal{K}_o^n$および$p > 1$に対して不等式$V(K)^{n/p-1}V(\Phi_p^*K) \leq V(B)^{n/p-1}V(\Phi_p^*B)$ が成り立つ。
• 等号は、$K$が原点を中心とする楕円体である場合に限り成立する。
• この族の中で最も強い2つの不等式は、$\Phi_pK = \Pi_p^+K$ および $\Phi_pK = \Pi_p^-K$ に対応し、両者とも古典的な$L_p$ペティ射影不等式を含意する。
• 体積関数 $V(\mathrm{M}_p^\tau L)$ の最大化子は一意に$\tau = 0$ で発生し、これにより最大化子$\mathrm{M}_p^0L$は原点対称でなければならないことが示される。
• すべての凸体に対して有効な正しい$L_p$類似形のブラシュケ＝サントラルォ不等式が確立され、極限において古典的不等式に還元される。
• 解析により、$\mathrm{M}_p^\tau L$ が原点対称であるのは$\tau = 0$のときのみであることが示され、対称な場合における最大化子の一意性が確認された。