[論文レビュー] General Operads and Multicategories

Tom Leinster|ArXiv.org|Oct 8, 1998

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、モノイダル圏の理論を一般化し、モノイドの圏 S におけるモナド ∗ に対する代数の圏における圏対象としての (S, ∗)-構造付き圏を導入することで、それを行う。 (S, ∗)-多圏と (S, ∗)-構造付き圏の間でモナディック随伴を確立し、古典的な多圏とモノイダル圏の間の随伴を拡張し、この随伴がモナディックであることを証明することで、普遍代数を用いた構造付き圏のための圏論的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Notions of `operad' and `multicategory' abound. This work provides a single framework in which many of these various notions can be expressed. Explicitly: given a monad * on a category S, we define the term `(S,*)-multicategory', subject to certain conditions on S and *. Different choices of S and * give some of the existing notions of operad and multicategory. We then describe the `algebras' for an (S,*)-multicategory and, finally, present a tentative selection of further developments. Our approach makes possible concise descriptions of Baez and Dolan's opetopes and Batanin's operads; both of these are included.

研究の動機と目的

• 古典的ケース (Sets, free monoid) を超えて、任意のデカルト圏 (S, ∗) におけるモノイダル圏を一般化すること。
• S()∗、すなわち S 上のモナド ∗ に対する代数の圏における (S, ∗)-構造付き圏を、S()∗ における圏対象として定義すること。
• (S, ∗)-多圏と (S, ∗)-構造付き圏の間でモナディック随伴を確立すること。
• (S, ∗)-構造付き圏から (S, ∗)-多圏への忘却関手がモナディック随伴の一部であることを示すこと。
• 普遍代数と多圏論を用いて、構造付き圏のための圏論的枠組みを提供すること。

提案手法

• (S, ∗)-構造付き圏を、(S()∗, id)-多圏、すなわち ∗-代数の圏における圏対象として定義する。
• S 上のモナド ∗ を用いて、S-Cat 上にモナドを誘導し、(S, ∗)-構造付き圏をこのモナドの代数として定義する。
• (S, ∗)-多圏と (S, ∗)-構造付き圏の間の自由関手 F と忘却関手 U を構成する。
• 標準的な自然変換 ϕ と ψ を用いて、随伴 F ⊣ U を確立する。P ⊣ Q は単なる関手としての随伴である。
• モナディック性定理を用いて、随伴がモナディックである条件を満たしていることを検証する。
• (S, ∗) = (Sets, free monoid) の場合にこの構成を適用し、古典的な多圏とモノイダル圏の間の随伴を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイダル圏は、(Sets, free monoid) のケースを越えて、任意のデカルト圏 (S, ∗) にどのように一般化できるか？
• RQ2 モノイダル圏を一般化する正しい圏論的定義とは、(S, ∗)-構造付き圏であるか？
• RQ3 (S, ∗)-多圏と (S, ∗)-構造付き圏の間にモナディック随伴が存在するか？
• RQ4 これらの圏の間の自由関手と忘却関手はどのように振る舞い、その普遍的性質は何か？
• RQ5 (S, ∗)-多圏と (S, ∗)-構造付き圏の間の随伴がモナディックであるための条件は何か？

主な発見

• この論文は、任意のデカルト圏 (S, ∗) に対して、(S, ∗)-多圏と (S, ∗)-構造付き圏の間でモナディック随伴を構成する。
• この随伴はモナディックである。つまり、(S, ∗)-構造付き圏は、自由-忘却随伴によって誘導されるモナドの代数と同値である。
• (S, ∗)-構造付き圏から (S, ∗)-多圏への忘却関手は忠実であるが、全射ではない。これは、両者の構造の間の厳密な圏論的差異を示している。
• この構成は、古典的な多圏とモノイダル圏の間の随伴を一般化し、(S, ∗) = (Sets, free monoid) のとき、それを回復する。
• 随伴は標準的な自然変換 ϕ と ψ を用いて定義され、単位と余単位がこれらと適切に可換することにより、整合性が保証される。
• この枠組みは、多圏の文脈における普遍代数を用いて、構造付き圏を一様に扱うための圏論的枠組みを提供する。