[論文レビュー] General perversities and L^2 de Rham and Hodge theorems for stratified pseudomanifolds

Francesco Bei|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、重み付き準エッジ計量に対して一般化されたperversity $p_g$ と $q_g$ を関連させることで、分層的擬多様体に対する $L^2$ de Rham定理およびHodge定理を確立する。絶対的 $L^2$ Hodgeコホロジーと最大 $L^2$ de Rhamコホロジーは、perversity $q_g$ に関する交差コホロジーと同型であり、相対的 $L^2$ Hodgeコホロジーと最小 $L^2$ de Rhamコホロジーは、perversity $p_g$ に関する交差コホロジーと同型である。これは、古典的結果をより広いクラスの計量およびperversityに拡張するものである。

ABSTRACT

Given a compact stratified pseudomanifold with a Thom-Mather stratification and a class of riemannian metrics over its regular part, we study the relationships between the $L^{2}$ de Rham and Hodge cohomology and the intersection cohomology of $X$ associated to some perversities. More precisely, to a kind of metric which we call \emph{quasi edge with weights}, we associate two general perversities in the sense of G. Friedman, $p_{g}$ and its dual $q_{g}$. We then show that the absolute $L^{2}$ Hodge cohomology is isomorphic to the maximal $L^{2}$ de Rham cohomology and this is in turn isomorphic to the intersection cohomology associated to the perversity $q_{g}$. Moreover we prove that the relative $L^{2}$ Hodge cohomology is isomorphic to the minimal $L^{2}$ de Rham cohomology and this is in turn isomorphic to the intersection cohomology associated to the perversity $p_{g}$.

研究の動機と目的

• コンパクトな分層的擬多様体の正則部分に於ける $L^2$ de RhamおよびHodgeコホロジーと、一般化されたperversityに関する交差コホロジーとの間の対応関係を確立すること。
• 一般化されたperversity $p_g$ および $q_g$ を持つ、重み付き準エッジ計量と呼ばれるRiemann計量のクラスを定義し、それらが交差コホロジーへの同型写像を導くこと。
• 逆問題に取り組むこと：与えられた一般化されたperversity $p$ に対して、$L^2$ de RhamおよびHodge定理が $p$ に対して成り立つような計量 $g$ が存在するか。
• 一般化されたperversity $p$ が下位の中央perversity以下、または上位の中央perversity以上である場合に、そのような計量が存在することを証明すること。
• 同型写像およびLaplaciansのFredholm性を用いて、$L^2$ コホロジー群の構造的性質を導出すること。

提案手法

• 分層的擬多様体の正則部分に於けるRiemann計量のクラスを導入する。これを「重み付き準エッジ」と呼ぶ。これは、計量構造における変数の指数を許容することで、エッジ計量を一般化する。
• 各計量 $g$ に対して、Friedmanの意味での一般化されたperversity $p_g$ および $q_g$ を、計量の重みパラメータから導出する。
• 最大 $L^2$ de Rhamコホロジーおよび絶対的 $L^2$ Hodgeコホロジーが、perversity $q_g$ に関する交差コホロジーと同型であることを証明する。また、最小 $L^2$ de Rhamコホロジーおよび相対的 $L^2$ Hodgeコホロジーが、perversity $p_g$ に関する交差コホロジーと同型であることを証明する。
• Goresky-MacPhersonの層的枠組みおよび特異空間上の $L^2$ コホロジー理論を用いて、同型写像を確立する。
• $L^2$ Laplacians $\Delta_{max,i}$ および $\Delta_{min,i}$ のFredholm性を分析し、それらが閉じた像を持ち、核および余核が有限次元であることを示す。
• 逆問題の手法を適用し、$p \leq \underline{m}$ または $p \geq \overline{m}$ の場合に、一般化されたperversity $p$ に対して適切な計量を構成する。ここで $\underline{m}$ および $\overline{m}$ はそれぞれ下位および上位の中央perversityを表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた一般化されたperversity $p$ に対して、$reg(X)$ 上のRiemann計量 $g$ が存在し、$p$ に関して $L^2$ de RhamおよびHodge定理が成り立つかどうか。
• RQ2 重み付き準エッジ計量の $L^2$ de RhamおよびHodgeコホロジー群は、関連するperversity $p_g$ および $q_g$ に関する交差コホロジーとどのように関係するか。
• RQ3 perversity $p$ にどのような条件を課すと、計量 $g$ から生じる $L^2$ コホロジー群が $I^pH^i(X)$ と同型になるか。
• RQ4 $L^2$ Hodgeおよびde Rhamコホロジー群が計量の選択に依存せず、分層的ホモトピー型およびperversityにのみ依存する条件は何か。
• RQ5 計量の重みが $c_Y \geq 1$ というような境界条件を満たすとき、$L^2$ コホロジー群はどのように振る舞うか。

主な発見

• 絶対的 $L^2$ Hodgeコホロジーおよび最大 $L^2$ de Rhamコホロジーは、$p_g$ の双対である $q_g$ に関連する交差コホロジーと同型である。
• 相対的 $L^2$ Hodgeコホロジーおよび最小 $L^2$ de Rhamコホロジーは、計量の重みから定義されるperversity $p_g$ に関連する交差コホロジーと同型である。
• すべての重み $c_Y \geq 1$ を満たす計量に対して、$L^2$ コホロジー群は、下位および上位の中央perversity $\underline{m}$ および $\overline{m}$ に関連する古典的交差コホロジー群と一致する。
• perversity $p_g$ がGoresky-MacPhersonの意味で古典的であり、codimension-1の層条件が成り立つ場合、$L^2$ コホロジー群はそれぞれ $p_g$ および $q_g$ に関する交差コホロジーと一致する。
• 2つの重み付き準エッジ計量が同じperversity $p_g$ を誘導するならば、それらの $L^2$ コホロジー群は同型である。これは、計量の同値関係に関して不変であることを示している。
• $L^2$ Laplacians $\Delta_{max,i}$ および $\Delta_{min,i}$ は、閉じた像を持ち、核および余核が有限次元である。これは、$L^2$ Hodgeおよびde Rhamコホロジー群が有限次元であることを示している。