[論文レビュー] General Probabilistic Framework of Randomness

Elena R. Loubenets|ArXiv.org|May 21, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、初期情報状態空間上の一般化観測量を用いて実験をモデル化することにより、古典的確率論と量子測定理論を統一する一般化された確率的枠組みを導入する。非破壊的実験が、フォン・ノイマンの量子崩壊を一般化する状態縮約現象を誘発することを証明し、量子統計的モデルがコルモゴロフのモデルに還元できないことを確立する。

ABSTRACT

We introduce a new mathematical framework for the probabilistic description of an experiment upon a system of any type in terms of initial information representing this system. Based on the notions of an information state, an information state space and a generalized observable, this general framework covers the description of a wide range of experimental situations including those where, with respect to a system, an experiment is perturbing. We prove that, to any experiment upon a system, there corresponds a unique generalized observable on a system initial information state space, which defines the probability distribution of outcomes under this experiment. We specify the case where initial information on a system provides "no knowledge" for the description of an experiment. Incorporating in a uniform way the basic notions of conventional probability theory and the non-commutativity aspects and the basic notions of quantum measurement theory, our framework clarifies the principle difference between Kolmogorov's model in probability theory and the statistical model of quantum theory. Both models are included into our framework as particular cases. We show that the phenomenon of "reduction" of a system initial information state is inherent, in general, to any non-destructive experiment and upon a system of any type. Based on our general framework, we introduce the probabilistic model for the description of non-destructive experiments upon a quantum system and prove that positive bounded linear mappings on the Banach space of trace class operators, arising in the description of experiments upon a quantum system, are completely positive.

研究の動機と目的

• コルモゴロフの確率論と量子統計的モデルの間の基礎的緊張を解消し、統一された数学的枠組みを提供すること。
• 初期情報状態と一般化観測量を用いて、特に摂動を伴う実験の記述を形式化すること。
• 両者を単一の枠組み内に特殊ケースとして埋め込むことにより、古典的および量子確率的モデルの本質的差異を明確にすること。
• 非破壊的実験において情報状態の縮約現象が一般の特徴として現れることを確立し、これは量子系に限定されないことを示すこと。
• 量子一般化観測量がコルモゴロフのモデルに還元できないことを証明し、量子確率の非古典的性質を裏付けること。

提案手法

• システムに関する初期知識の基礎として、情報状態空間の概念を導入する。
• 各実験と一意に関連する、情報状態空間上の正の作用素値測度（POVM）としての一般化観測量を定義する。
• バナッハ空間設定において、非破壊的実験の完全な統計的記述を記述するための平均情報状態インストゥルメントを用いる。
• 測定後のシステム知識の動的変化をモデル化するため、条件付き事後平均情報状態の概念を適用する。
• 量子一般化観測量がトレースクラス作用素上の非負の有界線形汎関数値をとるσ加法的測度に対応することを証明する。
• 量子状態インストゥルメントが完全正則写像であることを示し、量子測定プロセスを一般化することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様な確率的枠組みが、古典的および量子的実験記述を統合しつつ、それぞれの特徴を保持できるか？
• RQ2 非破壊的実験中に情報状態が縮約する背後にある数学的構造は何か？
• RQ3 なぜ量子統計的モデルはコルモゴロフの確率モデルに還元できないのか？その還元不可能性の正式な条件は何か？
• RQ4 一般化観測量が、非摂動的および摂動的実験を統一的に表現できるか？
• RQ5 ベーブルズは、古典的非摂動的測定と一般化量子測定を区別する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の系に対する実験は、その初期情報状態空間上に一意に定まる一般化観測量に対応し、実験と確率的構造との間の一対一対応を確立する。
• 情報状態の縮約現象は、すべての非破壊的実験に内在しており、これはフォン・ノイマンの量子状態崩壊を量子領域を超えて一般化するものである。
• コルモゴロフのモデルは、量子一般化観測量の性質を再現できないため、量子統計的モデルが古典確率論に還元できないことを証明する。
• 量子の場合、一般化観測量は、ヒルベルト空間上の非負の有界線形作用素値をとるσ加法的測度として表現され、POVMに対応する。
• 量子状態インストゥルメントは完全正則写像であることが確認され、量子操作の数学的構造と整合していることを裏付ける。
• ベーブルズは、決定論的なセットアップを伴う非摂動的実験を記述するものであり、唯一このような実験がコルモゴロフのモデルと完全に整合可能である。これは、古典的および量子測定の根本的差異を強調する。