[論文レビュー] General Purpose Convolution Algorithm in S4-Classes by means of FFT

Peter Ruckdeschel, Matthias Kohl|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2010

Numerical Methods and Algorithms参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、RにおけるS4クラス内でFFTに基づく離散的フーリエ変換を用いて、一変量確率分布の一般用途向け畳み込みアルゴリズムを提示する。離散化された格子上でFFTを適用し、結果を平滑化することで、離散的・連続的・混合分布を含む任意の分布の正確で効率的な畳み込みを可能にする。特に正規分布やポアソン分布などの特殊ケースには正確な手法をオーバーロードする。

ABSTRACT

Object orientation provides a flexible framework for the implementation of the convolution of arbitrary distributions of real-valued random variables. We discuss an algorithm which is based on the discrete Fourier transformation (DFT) and its fast computability via the fast Fourier transformation (FFT). It directly applies to lattice-supported distributions. In the case of continuous distributions an additional discretization to a linear lattice is necessary and the resulting lattice-supported distributions are suitably smoothed after convolution. We compare our algorithm to other approaches aiming at a similar generality as to accuracy and speed. In situations where the exact results are known, several checks confirm a high accuracy of the proposed algorithm which is also illustrated at approximations of non-central $χ^2$-distributions. By means of object orientation this default algorithm can be overloaded by more specific algorithms where possible, in particular where explicit convolution formulae are available. Our focus is on R package distr which includes an implementation of this approach overloading operator "+" for convolution; based on this convolution, we define a whole arithmetics of mathematical operations acting on distribution objects, comprising, among others, operators "+", "-", "*", "/", and "^".

研究の動機と目的

• Rにおける一様で拡張可能な畳み込みフレームワークの開発を目的とし、オブジェクト指向プログラミングを用いる。
• FFTに基づく数値的逆変換を用いて、離散的および連続的分布の正確で効率的な畳み込みを可能にする。
• 利用可能な正確な手法（例：正規分布やポアソン分布）が存在する場合には、デフォルトのアルゴリズムが自動的に上書き可能であるようにする。
• CDF、密度関数、分位数関数、乱数発生関数の4つの関数を保持したまま、分布オブジェクトの四則演算（+、-、*、/、^）をサポートする。
• 実務的な応用（年金保険、ロバスト統計、シミュレーション）に適した高い正確性と計算効率を確保する。

提案手法

• 任意の分布（離散的または連続的）を線形格子上に離散化し、数値計算を可能にする。
• 特徴関数に基づく畳み込みを、離散的フーリエ変換（DFT）を用いて高速フーリエ変換（FFT）で計算する。
• 逆FFTを用いて元の定義域に戻り、離散化に起因するアーチファクトを軽減するための平滑化処理を実施する。
• RのS4クラスシステムを活用し、CDF、密度関数、分位数関数、乱数発生関数を備えた完全な機能を持つ分布オブジェクトをカプセル化する。
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実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オブジェクト指向フレームワーク内で、任意の一変量分布に対する一般用途畳み込みアルゴリズムをどのように実装できるか？
• RQ2 格子離散化を伴うFFTベース畳み込みにおいて、正確性と計算効率のトレードオフはどのようなものか？
• RQ3 FFTベース手法は、年金保険モデリングやロバスト統計などの実務的応用において十分な正確性を達成できるか？
• RQ4 『actuar』や『distr』パッケージが提供する正確な手法と比較して、提案手法の性能と正確性はどのように異なるか？
• RQ5 RのS4クラスシステムは、関数の伝搬が一貫した分布オブジェクトの完全な四則演算をどの程度サポートできるか？

主な発見

• FFTベース畳み込み手法は高い正確性を達成しており、細かい離散化下でも密度近似の最大絶対誤差が1.25e-3未満である。
• 『actuar』パッケージの畳み込みよりも著しく高速であり、同じタスクを1.82%の時間で処理し、『actuar』に対して100倍の高速化が達成された。
• デフォルトのFFT手法は正確な結果と非常に近い結果を示し、密度評価における中央絶対誤差は1e-5未満、最大誤差は8e-6未満であった。
• CDF、密度関数、分位数関数、乱数発生関数を備えた完全な分布オブジェクトをサポートしており、スムーズな算術演算が可能である。
• 非心カイ二乗分布近似など多様な分布に対してロバストであり、極端な分位数の切り捨て（1e-6）に対しても良好に動作した。
• 『distr』パッケージへの実装により、ロバスト推定、リスクモデリング、年金計算などの高度な統計的応用における実用的利用が可能になった。