[論文レビュー] General quantum algorithms for Hamiltonian simulation with applications to a non-Abelian lattice gauge theory

Zohreh Davoudi, Alexander F. Shaw+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2022

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複数の量子数における相関する変化を有するハミルトニアンをシミュレートする一般化された量子アルゴリズムを提示する。相互作用項の対角化に特異値分解（SVD）を用いる。1+1次元のSU(2)格子規周理論に適用したところ、ループ・ストリング・ハドロン形式を用いることでゲージ対称性を保存しつつ高価な制御操作を回避でき、CNOTコストが最大380倍まで低減された。これは、標準的なシュヴィンガー・ボソン形式や角運動量形式を凌駆する。

ABSTRACT

With a focus on universal quantum computing for quantum simulation, and through the example of lattice gauge theories, we introduce rather general quantum algorithms that can efficiently simulate certain classes of interactions consisting of correlated changes in multiple (bosonic and fermionic) quantum numbers with non-trivial functional coefficients. In particular, we analyze diagonalization of Hamiltonian terms using a singular-value decomposition technique, and discuss how the achieved diagonal unitaries in the digitized time-evolution operator can be implemented. The lattice gauge theory studied is the SU(2) gauge theory in 1+1 dimensions coupled to one flavor of staggered fermions, for which a complete quantum-resource analysis within different computational models is presented. The algorithms are shown to be applicable to higher-dimensional theories as well as to other Abelian and non-Abelian gauge theories. The example chosen further demonstrates the importance of adopting efficient theoretical formulations: it is shown that an explicitly gauge-invariant formulation using loop, string, and hadron degrees of freedom simplifies the algorithms and lowers the cost compared with the standard formulations based on angular-momentum as well as the Schwinger-boson degrees of freedom. The loop-string-hadron formulation further retains the non-Abelian gauge symmetry despite the inexactness of the digitized simulation, without the need for costly controlled operations. Such theoretical and algorithmic considerations are likely to be essential in quantumly simulating other complex theories of relevance to nature.

研究の動機と目的

• 複雑で相関する相互作用を有する複数の量子数におけるハミルトニアンをシミュレートする一般化された量子アルゴリズムの開発。
• 理論的形式の最適化を通じてゲージ理論のデジタル量子シミュレーションにおける量子リソースコストの低減。
• ループ・ストリング・ハドロンのような明示的なゲージ不変形式が、シミュレーションを簡素化し、高価な制御操作を回避できることの実証。
• 近位量子モデルおよびフォールトトレランスモデルの両方において、非アーベルゲージ理論の完全な量子リソース解析の提供。
• デジタイズド時間発展演算子において、効率的な理論的形式がゲート数を著しく低減しつつゲージ不変性を保持できることの示唆。

提案手法

• 非自明な関数的係数を有するハミルトニアン項の対角化に特異値分解（SVD）を用いる。
• 積分型時間発展演算子を用い、発展演算子を対角ユニタリに分解するデジタイズド時間発展演算を適用する。
• 対角ユニタリを、遠位量子用の位相推定または近位量子用の変分回路を用い、キュービット効率の良い符号化で実装する。
• SU(2)格子規周理論のループ・ストリング・ハドロン形式を採用し、明示的にゲージ不変性を維持する。
• 交換子ノルムとスペクトルノルムに基づく第二階層のトレッター誤差境界を用いて誤差解析を実施する。
• CNOTおよびTゲートのゲート数テーブルを用いて、形式間（シュヴィンガー・ボソン対比・ループ・ストリング・ハドロン）のリソースコストを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SVDに基づく対角化は、複数の量子数における相関する変化を有するハミルトニアンを効率的にシミュレートするために一般化可能か？
• RQ2 シュヴィンガー・ボソン、角運動量、ループ・ストリング・ハドロンといった異なる理論的形式は、ゲージ理論シミュレーションにおける量子リソースコストにどのように影響するか？
• RQ3 ループ・ストリング・ハドロンのようなゲージ不変形式は、デジタイズドシミュレーションにおいて非アーベル対称性を保存しつつ、高価な制御操作を回避できるか？
• RQ4 形式選択の定量的影響は、近位およびフォールトトレランス量子シミュレーションにおけるCNOTおよびTゲート数にどのように現れるか？
• RQ5 デジタイズド時間発展演算において、系のサイズ、結合定数、電場切断の影響は、誤差境界にどのようにスケーリングするか？

主な発見

• x = 1およびη = 4の条件下で、ループ・ストリング・ハドロン（LSH）形式はシュヴィンガー・ボソン形式と比較してCNOTゲートコストを最大380倍まで低減した。
• x = 1の条件下でTゲートコストは24.5倍低減し、x = 1からx = 10の範囲では21〜24倍の低減を達成した。
• LSH形式は制御操作を必要とせず、非アーベルゲージ不変性を保持したままであるのに対し、標準形式ではこうしたゲートが必要となる。
• LSH形式の第二階層トレッター誤差境界はρLSH(x, Λ, µ) ≈ 47√2x³/3 + 2Λx² + ... とスケーリングされ、シュヴィンガー・ボソン形式と比較して改善されたスケーリングを示した。
• ループ・ストリング・ハドロン形式は非ゼロの交換子項の数とその重複度を低減し、誤差とゲート数の低減に寄与した。
• 本アルゴリズムは一般化可能であり、SU(2) 1+1次元の例にとどまらず、より高次元および他のアーベル／非アーベルゲージ理論へも適用可能である。