[論文レビュー] General Relativistic Static Fluid Solutions with Cosmological Constant

Christian G. Boehmer|ArXiv.org|Aug 19, 2003

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、宇宙定数を含む一般相対性理論の静的流体解を調査し、グローバル星モデルの存在条件を導出し、Buchdahlの不等式をΛを含める形に拡張する。Λ < 4πρ_b の条件下で、正則で有限半径の解が存在することを証明し、定常密度流体に対して共形平坦性を確立し、Buchdahl変数とPenrose-Carter図を用いて、宇宙背景およびブラックホールの事象の地平線を含む時空構造を分析する。

ABSTRACT

This diploma thesis analyses static, spherically symmetric perfect fluid solutions to Einstein's field equations with cosmological constant. Constant density solutions are derived for different values of the cosmological constant. Eleven types of solutions are found, with an overview given at page 41. Furthermore the existence of a global solution is proved for a cosmological constant smaller than 4 Pi the boundary density, which is given by the equation of state.

研究の動機と目的

• 非ゼロの宇宙定数Λを有するグローバルで拡張不能な静的完全流体解の存在を確立すること。
• Buchdahlの質量-半径不等式を宇宙定数を含める形に拡張し、与えられた半径に対する星の質量の上限を与えること。
• 定常密度解の幾何的構造（球面的、ユークリッド的、双曲的空間曲率および共形平坦性）を分析すること。
• 宇宙定数が時空の構造的特徴、特に宇宙背景およびブラックホールの事象の地平線の形成に果たす役割を調査すること。
• 中心圧力と密度がΛ < 4πρ_b の条件下で解を一意に決定することを証明し、非一意性に関するCollinsの予想を解消すること。

提案手法

• 完全流体源と宇宙定数を伴うアインシュタイン場方程式から、宇宙定数付きのTOV方程式（TOV-Λ）を導出する。
• 場方程式の簡略化と曲率不変量の分析のため、Buchdahl変数（y² = e^(-a(r))、ζ = e^(ν/2)、x = r²）を導入する。
• w_{,x} = 0（定常密度）の条件を用いて、Weylテンソルが消えることを示し、定常密度解の共形平坦性を証明する。
• 幾何的不変量とPenrose-Carter図を用いて、時空構造（事象の地平線や特異点を含む）を分類する。
• 中心における初期値問題の解析を通じてグローバル解の存在を確立し、Λおよび状態方程式の条件を設定する。
• 境界条件を分析するため、内部流体解と外部真空解（例：Schwarzschild-de Sitter、Nariai計量）を接続する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、宇宙定数を有するグローバルな静的完全流体解が存在するか？
• RQ2 宇宙定数は、相対論的星に対するBuchdahlの質量-半径不等式をどのように修正するか？
• RQ3 非ゼロのΛを有する定常密度流体解の幾何的性質（空間曲率、共形平坦性）は何か？
• RQ4 宇宙定数の存在が、星モデルにおける複数の正則な中心点や地平線構造を生じうるか？
• RQ5 TOV-Λ方程式の解は、中心圧力と密度によって一意に決定されるのか。これは、非一意性に関するCollinsの予想を解消するか？

主な発見

• Λ < 4πρ_b の条件下で、グローバルな静的流体解が存在し、ρ_bは境界密度である。この条件は宇宙定数の上限よりもはるかに弱い。
• 一般化されたBuchdahl不等式により、Λ > 0 の場合に総質量が M < (4/9)R(1 - ΛR²/3) で有界であることが示され、星モデルが宇宙背景の事象の地平線によって制限されることを示している。
• 定常密度解は、w_{,x} = 0 のためWeylテンソルが消えることから、Λに依存せず共形平坦である。
• Λ > 0 の場合、群の軌道が境界で減少するならば、二つの正則な中心点を持つ解が存在し、このような解は幾何的特異点を有さない可能性がある。
• Nariai計量は、Λ > 0 の特定の状況における外部解として現れ、その不変量は非ゼロのWeylテンソルを確認している。
• Penrose-Carter図により、二つの地平線の間の二つの星の物体を含む時空は、群の軌道が境界で増加する場合にのみ、グローバルに静的であることができ、真空中特異点を避けることができる。