[論文レビュー] General Relativity as a Genuine Connection Theory

R. Aldrovandi, H. I. Arcos+1 more|ArXiv.org|Dec 7, 2004

Relativity and Gravitational Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論の真正な接続形式を提案する。ここでローレンツスピン接続が基本的な重力場であり、接続は接空間座標のフォック＝イワニエンコ共変微分から導出される。得られる tetrad 場は接続に本質的に結合し、一般相対性理論の二つのバイオッチ恒等式を一つに統合する。この理論はヤン＝ミルズゲージ理論により近い形をとる。

ABSTRACT

The Palatini formulation is used to develop a genuine connection theory for general relativity, in which the gravitational field is represented by a Lorentz-valued spin connection. The existence of a tetrad field, given by the Fock-Ivanenko covariant derivative of the tangent-space coordinates, implies a coupling between the spin connection and the coordinate vector-field, which turns out to be the responsible for the onset of curvature. This connection-coordinate coupling can thus be considered as the very foundation of the gravitational interaction. The peculiar form of the tetrad field is shown to reduce both Bianchi identities of general relativity to a single one, which brings this theory closer to the gauge theories describing the other fundamental interactions of Nature. Some further properties of this approach are also examined.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論を、計量や tetrad よりもスピン接続を基本場とする真正な接続理論として再定式化すること。
• 標準的なパラティーニ形式において接続が tetrad から導出されるため、接続の基本的役割が失われるという概念的問題を解決すること。
• 座標のフォック＝イワニエンコ共変微分を用いて、tetrad がスピン接続から導出可能であることを示すこと。
• スピン接続が基本的である場合、一般相対性理論の二つのバイオッチ恒等式が一つに統合されることを示し、重力理論をゲージ理論と整合させること。
• 時空微分同相変換の代わりに局所ローレンツ不変性を基礎対称性とする場合の運動論的および力学的結果を調査すること。

提案手法

• tetrad とスピン接続を独立変数とする修正されたパラティーニ変分原理を採用するが、後で tetrad をスピン接続から導出する。
• tetrad を $ h^{C}{}_{ u} = ar{ abla}_{ u} x^{C} = abla_{ u} x^{C} + ar{A}^{C}{}_{B u} x^{B} $ と定義する。ここで $ ar{A} $ はリッチの回転係数（スピン接続）である。
• フォック＝イワニエンコ共変微分を用いて tetrad を定義し、接続から導出され、基本的でないことを保証する。
• スピン接続から曲率および torsion テンソルを導出する。torsion は消えるが、形式的に非自明に存在する。
• 共変微分 $ ar{ abla} $ を曲率および torsion に作用させ、恒等式 $ x^{B} ar{ abla}_{ ho} ar{ abla}_{ u} x^{C} = ar{ abla}_{ u} x^{C} $ を用いてバイオッチ恒等式を関連付ける。
• 曲率のバイオッチ恒等式に $ x^{B} $ を乗じることで torsion のバイオッチ恒等式が得られ、等価性が証明され、二つの恒等式が一つに統合されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論は、スピン接続を基本場とし、tetrad を導出可能なものとして定式化できるか？
• RQ2 接続に基づく重力形式において、曲率の物理的起源は何か？
• RQ3 スピン接続と座標ベクトル場の結合が重力的効果をどのように生じさせるか？
• RQ4 スピン接続が基本的である場合、一般相対性理論の二つのバイオッチ恒等式がなぜ一つの恒等式に統合されるのか？
• RQ5 この定式化は、他のゲージ理論との統一にどのような意味を持つのか？

主な発見

• tetrad 場は接空間座標のフォック＝イワニエンコ共変微分から導出され、$ h^{C}{}_{ u} = ar{ abla}_{ u} x^{C} $ と表され、スピン接続に依存する導出場である。
• 座標の共変微分に起因する接続-tetrad 結合が、この定式化における曲率の基本的源である。
• 一般相対性理論の二つのバイオッチ恒等式（torsion と曲率に関するもの）は、スピン接続が基本的である場合、恒等式 $ x^{B} ar{ abla}_{ ho} ar{ abla}_{ u} x^{C} = ar{ abla}_{ u} x^{C} $ のおかげで一つの恒等式に統合される。
• torsion は $ ar{ abla}_{ ho} ar{ abla}_{ u} x^{C} = ar{ abla}_{ u} x^{C} $ を満たし、$ ar{ abla}_{ ho} ar{ abla}_{ u} x^{C} $ が $ x^{C} $ に直交することを意味する。したがって $ x_{A} ar{ abla}_{ u} ar{ abla}_{ ho} x^{A} = 0 $ が成り立つ。
• 宇宙定数 $ ar{ abla}_{ ho} ar{ abla}_{ u} x^{C ext{}} $ は、重力が存在しない状況でも、接空間座標のラグランジアンから自然に導出される。
• 理論は微分同相変換ではなく局所ローレンツ不変性に基づく運動論的構造を示し、重力をヤン＝ミルズゲージ理論により近づける。