[論文レビュー] General relativity histories theory II: Invariance groups

Ntina Savvidou|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 7被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論の歴史理論において、計量に依存する分割が等価的である場合、正準的制約、作用汎関数、運動方程式が時空微分同相変換に関して不変であることを確立している。さらに、この枠組み内にベルグマン＝コマール群の表現が存在することを示し、量子重力における時間の問題を解決する統一的時空的・正準的記述を提供する。

ABSTRACT

We show in detail how the histories description of general relativity carries representations of both the spacetime diffeomorphisms group and the Dirac algebra of constraints. We show that the introduction of metric-dependent equivariant foliations leads to the crucial result that the canonical constraints are invariant under the action of spacetime diffeomorphisms. Furthermore, there exists a representation of the group of generalised spacetime mappings that are functionals of the four-metric: this is a spacetime analogue of the group originally defined by Bergmann and Komar in the context of the canonical formulation of general relativity. Finally, we discuss the possible directions for the quantization of gravity in histories theory.

研究の動機と目的

• 異なる分割に対して物理的同値性が保たれるように、正準一般相対性理論における時空微分同相変換に関連する解の不変性を保証すること。
• 等価的で計量に依存する分割を用いる場合、正準的制約と運動方程式が時空微分同相変換に関して不変であることを確立すること。
• 一般化された時空写像のベルグマン＝コマール群の表現が、歴史的定式化内に存在することを示すこと。
• 時空共変性を保ち、時間の問題に対処する新しい重力の量子化アプローチの基盤を築くこと。

提案手法

• 時空微分同相変換に関して等価的であると定義される計量に依存する分割 $\mathcal{E}(f^*g) = f^{-1} \circ \mathcal{E}(g)$ を導入する。
• 正準位相空間 $\Pi^{\text{cov}} = T^*\text{LRiem}(M)$ 上のシンプレクティック構造を用い、ポisson括弧 $\{g_{\mu\nu}(X), \pi^{\alpha\beta}(X')\} = \delta_{(\mu\nu)}^{\alpha\beta} \delta^4(X,X')$ を使用する。
• 分割 $\mathcal{E}(g)$ を用いて四次元計量の 3+1 分解を導出し、$h_{ij}$, $N_i$, および $N^2$ を $g$ と $\mathcal{E}(g)$ の汎関数として得る。
• 分割の等価性のおかげで、ハミルトニアンおよび運動量制約が時空微分同相変換に関して不変であることを示す。
• 四次元計量 $g$ の汎関数である時空写像からなるベルグマン＝コマール群 $\mathcal{BK}(M)$ の表現を構成する。
• 歴史的量子化プログラムが、超ハミルトニアン作用素を明示的に構成する必要を回避する可能性があると提唱する。これは、古典的位相空間上の幾何的構造を利用することで実現可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正準一般相対性理論において、異なる時空分割どうしが物理的に同値であるとは、どのようにして実現されるか？
• RQ2 時空微分同相変換が、異なる分割間で正準形式の物理的内容を保つために必要な数学的条件は何か？
• RQ3 一般化された時空写像のベルグマン＝コマール群は、一般相対性理論の歴史的定式化内に表現可能か？
• RQ4 等価的分割の導入が、正準的制約および作用汎関数の不変性にどのように影響するか？
• RQ5 この枠組みが、重力の量子化および時間の問題に及ぼす影響は何か？

主な発見

• 等価的で計量に依存する分割の導入により、正準的制約、作用汎関数、運動方程式が時空微分同相変換群 $\text{Diff}(M)$ の作用に関して不変であることが保証される。
• 条件 $\mathcal{E}(f^*g) = f^{-1} \circ \mathcal{E}(g)$ は、分割構造が微分同相変換に対して一貫して変化することを保証し、スライシングの空間的性質を維持する。
• 分割が等価的である場合、計量の引き戻しと分割の計量に依存する関数的依存性の相殺のおかげで、ハミルトニアンおよび運動量制約は時空微分同相変換に関して不変のままである。
• 四次元計量の汎関数である時空写像からなるベルグマン＝コマール群 $\mathcal{BK}(M)$ の表現が、歴史理論の枠組み内に存在する。
• 歴史理論は、時空的および正準的共変性を両方支持しており、量子重力における時間の問題を解決する統一的記述を可能にする。
• この枠組みは、古典的位相空間上の幾何的構造を介して量子化が行われ得ることを示唆し、超ハミルトニアン作用素を明示的に構成する必要を回避する可能性を秘めている。