[論文レビュー] General rogue waves and their dynamics in several reverse time integrable nonlocal nonlinear equations

Bo Yang, Yong Chen|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2017

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非局所的非線形方程式における一般化されたかぎりない波動解を、統一的バイナリ・ダーブウ変換（DT）法を用いて構築する。具体的には、非局所的NLS方程式およびダヴィーストゥアートソン（DS）方程式を対象とし、自由パラメータに応じて有界な運動または有限時間特異性を示す可能性があることが明らかになった。高次解では、放物型のかぎりない波動や反射するラムプ構造といった、局所的対応物にない新しいハイブリッド構造が観察される。

ABSTRACT

A study of general rogue waves in some integrable reverse time nonlocal nonlinear equations is presented. Specifically, the reverse time nonlocal nonlinear Schrödinger (NLS) and nonlocal Davey-Stewartson (DS) equations are investigated, which are nonlocal reductions from the AKNS hierarchy. By using Darboux transformation (DT) method, several types of rogue waves are constructed. Especially, a unified binary DT is found for this nonlocal DS system, thus the solution formulas for nonlocal DSI and DSII equation can be written in an uniform expression. Dynamics of these rogue waves is separately explored. It is shown that the (1+1)-dimensional rogue waves in nonlocal NLS equation can be bounded for both x and t, or develop collapsing singularities. It is also shown that the (1+2)-dimensional line rogue waves in the nonlocal DS equations can be bounded for all space and time, or have finite-time blowing-ups. All these types depend on the values of free parameters introduced in the solution. In addition, the dynamics patterns in the multi- and higher-order rogue waves exhibits more richer structures, most of which have no counterparts in the corresponding local nonlinear equations.

研究の動機と目的

• 時間反転対称性に起因し、局所的方程式とは根本的に異なる逆時空非局所非線形方程式におけるかぎりない波動の存在とダイナミクスを調査すること。
• 特に非局所DS階層に対して、ダーブウ変換法を非局所可積分系へ拡張し、正確なかぎりない波動解を構築すること。
• 解における自由パラメータが波動ダイナミクス（有界性や有限時間特異性を含む）に与える影響を調査すること。
• 非局所系と局所的方程式における多重および高次のかぎりない波動の構造的複雑性を比較し、新たなダイナミカルパターンを同定すること。
• 新規なバイナリ・ダーブウ変換を用いて、非局所DSIおよびDSII方程式の両方に対する統一的解の公式を確立すること。

提案手法

• 逆時空非局所NLSおよびDS方程式に対して、正確な有理関数解を生成するためダーブウ変換（DT）法を用いる。
• 非局所DS系に対して統一的バイナリ・ダーブウ変換を導入し、DSIおよびDSII方程式の両方の解を一つの式で表現可能にする。
• アブロイツ・カープ・ニューエル・セーガー（AKNS）階層に対称性還元を適用し、逆時空非局所NLSおよびDS方程式を導出する。
• 双線形法およびパラメータ依存の解の公式を用いて、基本的および高次のかぎりない波動の挙動を分析する。
• 異なるパrameter選択下での解のダイナミクスを数値的にシミュレート・可視化し、有界性と特異性の挙動を分類する。
• 特定のパrameter条件（例：純虚数のf₁）の下で分母関数が実数または非ゼロのまま保たれることを確認することで、解の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間tにおける解が時間-tにおける解と結合される逆時空非局所非線形方程式において、かぎりない波動解が存在可能か？
• RQ2 解における自由パラメータが、かぎりない波動のダイナミクスに与える影響は何か？具体的には、有界解か有限時間特異性を示す解かを決定する要因は何か？
• RQ3 非局所系における多重および高次のかぎりない波動では、局所的対応物とは異なり、どのような新しいダイナミカルパターンが出現するか？
• RQ4 非局所DSIおよびDSII方程式に対して、統一的ダーブウ変換を構築可能か？また、それにより一様な解の公式が得られるか？
• RQ5 非局所DS方程式における(1+2)次元のかぎりない波動は、放物型のかぎりない波動に反射する局所的ラムプを示すハイブリッド挙動を示すか？

主な発見

• 非局所NLS方程式における基本的(1+1)次元のかぎりない波動は、自由パラメータの値に応じて、すべてのxおよびtで有界であるか、収束特異性を示すかのどちらかである。
• 非局所DS方程式における基本的(1+2)次元の線形かぎりない波動は、空間的・時間的全域で有界であるか、有限時間に特異性を示すかのどちらかであり、これもパラメータの選択に依存する。
• 非局所NLS方程式における高次のかぎりない波動は、収束しないピークと収束するピークが三角形、五角形、円形配置をとるハイブリッド構造を示すが、これは局所的方程式には見られない。
• 非局所DSI方程式において、2次解は特異なダイナミクスパターンを示す：局所的ラムプが無限遠から接近し、放物型のかぎりない波動に反射して再び遠ざかる。放物型はt=0に背景から出現する。
• 非局所DSII方程式において、γ² = -1を満たす高次解は、ほとんど常に特異性を持つ解に限られ、非特異解または有限時間に特異性を示す解の存在は未解明のままである。
• 統一的バイナリ・ダーブウ変換は、非局所DSIおよびDSII方程式の両方に対して、一様な表現式を用いて解を正確に生成でき、そのダイナミクスの体系的解析を可能にする。