[論文レビュー] General SIS diffusion process with indirect spreading pathways on a hypergraph

Shaoxuan Cui, Fangzhou Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2023

Complex Network Analysis Techniques被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、多項式および一般相互作用関数を用いて直接的対照的相互作用と間接的高次相互作用を捉える、有向ハイパーグラフ上の一般化されたSIS拡散モデルを提案する。高次相互作用が、基本再生産数R₀ < 1であっても二安定性を引き起こすことが確立され、二ウイルス系における共存均衡は一般的に不安定であり、解は健康状態または支配的エンドミック状態に収束することが示された。

ABSTRACT

While conventional graphs only characterize pairwise interactions, higher-order networks (hypergraph, simplicial complex) capture multi-body interactions, which is a potentially more suitable modeling framework for a complex real system. However, the introduction of higher-order interactions brings new challenges for the rigorous analysis of such systems on a higher-order network. In this paper, we study a series of SIS-type diffusion processes with both indirect and direct pathways on a directed hypergraph. In a concrete case, the model we propose is based on a specific choice (polynomial) of interaction function (how several agents influence each other when they are in a hyperedge). Then, by the same choice of interaction function, we further extend the system and propose a bi-virus competing model on a directed hypergraph by coupling two single-virus models together. Finally, the most general model in this paper considers an abstract interaction function under single-virus and bi-virus settings. For the single-virus model, we provide the results regarding healthy state and endemic equilibrium. For the bi-virus setting, we further give an analysis of the existence and stability of the healthy state, dominant endemic equilibria, and coexisting equilibria. All theoretical results are finally supported by some numerical examples.

研究の動機と目的

• 直接的対照的相互作用と間接的高次相互作用を含むハイパーグラフ上のSIS型拡散プロセスをモデル化すること。
• 一般相互作用関数のもとで、単一ウイルスおよび二ウイルス系における健康状態とエンドミック均衡の存在および安定性を分析すること。
• ペアワイズリンクを超える高次相互作用が、特に二安定性および共存行動の出現に与える影響を調査すること。
• 非線形的かつ非多項式的相互作用関数を組み込み、非可約性および単調性のもとで均衡への収束を証明することで、先行研究のハイパーグラフ疫学モデルを拡張すること。
• 理論的および数値的根拠を提供し、均衡の安定性および不安定性の条件を含め、このような系のグローバルな挙動を包括的に同定すること。

提案手法

• ハイパーエッジ上の複数エージェントの影響を記述する多項式相互作用関数を用いて、有向ハイパーグラフ上の一般化SISモデルを形式化する。
• 二つの単一ウイルス系を結合することで二ウイルス競合モデルを導入し、別個の感染率と高次相互作用項を設ける。
• 単調な力学系理論の道具を用いて系を分析し、すべての系が非可約かつ単調であることを証明する。
• 固有値解析とリャプノフ関数を用いて、健康状態、エンドミック均衡、共存均衡の存在および安定性の条件を導出する。
• 初期条件および系パラメータを変化させた数値シミュレーションを実施し、特に二安定性および共存均衡の不安定性に関する解析結果を検証する。
• モデルを抽象的で多項式でない相互作用関数へ一般化し、弱い仮定のもとで、コアな力学的挙動（例：均衡への収束）が継続することを示す。

Figure 2 : The simulation of the single-virus case when the reproduction number equals $0.0644$ . From 3 different random initial conditions, the model always converges to zero.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーグラフ上の単一ウイルスSISモデルが、基本再生産数R₀ < 1であっても二安定性を示す条件は何か？
• RQ2 ハイパーエッジを介する高次相互作用は、単一ウイルスおよび二ウイルスモデルにおけるエンドミック均衡の存在および安定性にどのように影響するか？
• RQ3 ハイパーグラフ上の二ウイルス系において共存均衡が存在する条件は何か？そして、それは安定か？
• RQ4 相互作用関数が多項式形式を超えて一般化された場合、系の挙動はどのように変化するか？均衡への収束は依然として成立するか？
• RQ5 非可約性および単調性の仮定のもとで、系のグローバルなダイナミクスを完全に特徴づけることは可能か？制御戦略にどのような含意があるか？

主な発見

• R₀ < 1であっても、高次相互作用の影響により、ハイパーグラフ上の単一ウイルスSISモデルで二安定性が発生しうる。
• R₀ > 1であり、高次相互作用項が十分に小さい場合には、一意のエンドミック均衡がグローバルに安定である。
• 二ウイルスモデルでは、共存均衡は特定のパrameter条件下でのみ存在するが、数値シミュレーションは一貫してそれが不安定であることを示している。
• 多項式的または抽象的相互作用関数を用いたハイパーグラフ上の一般化SISモデルの解は、系が非可約かつ単調である限り、常に均衡点に収束する。
• 数値シミュレーションにより解析結果が裏付けられている：単一ウイルスおよび二ウイルス系の両方において、解は健康状態または支配的エンドミック状態に収束し、共存均衡への収束は観察されない。
• 系が非可約かつ単調な力学系として構造化されているため、均衡への長期的収束が保証され、ハイパーグラフベースの疫学的ダイナミクスに統一的理論枠組みを提供する。

Figure 3 : The simulation of the single-virus case when the reproduction number equals $0.4578$ . From 3 different random initial conditions, the model either converges to the origin or to an endemic equilibrium.