[論文レビュー] General sum-connectivity index of trees and unicyclic graphs with fixed maximum degree

Muhammad Kamran Jamil, Ioan Tomescu|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2018

Graph theory and applications参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、最大次数Δが固定されたn頂点の木およびユニサイクリックグラフについて、一般化された和接続性指数の最大値を、ジェンセンの不等式と辺変換技術を用いて特定する。極値グラフとして、星型の木および中心頂点にパスと懸垂頂点が接続されたユニサイクリックグラフを特定し、$-1 \leq \alpha < 0$ の場合に、$C_n$ がユニサイクリックグラフにおいて指数を最大にすることが示され、$n \geq 4$ の場合、第二に大きな値を持つグラフも同定される。本研究は、実数の指数$α$を用いた一般化された場合への和接続性指数に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

The general sum-connectivity index of a graph $G$ is defined as $χ_α(G)=\sum\limits_{uv\in E(G)} {(d(u)+d(v))^α}$, where $d(v)$ denotes the degree of the vertex $v$ in $G$ and $α$ is a real number. In this paper it is deduced the maximum value for the general sum-connectivity index of $n$-vertex trees for $-1.7036\leq α&lt;0$ and of $n$-vertex unicyclic graphs for $-1\le α&lt;0$ respectively, with fixed maximum degree $ riangle $. The corresponding extremal graphs, as well as the $n$-vertex unicyclic graphs with the second maximum general sum-connectivity index for $n\ge 4$ are characterized. This extends the corresponding results by Du, Zhou and Trinajsti\' c [arXiv:1210.5043] about sum-connectivity index.

研究の動機と目的

• 固定最大次数Δをもつn頂点の木およびユニサイクリックグラフのうち、一般化された和接続性指数 $\chi_\alpha(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d(u)+d(v))^\alpha$ を最大にするものを同定する。
• 既存の和接続性指数（$\alpha = -1/2$ の場合）に関する結果を、実数$α$に対する一般化された指数へ拡張する。
• 度制約のもとで最大および第二に大きな$\chi_\alpha$値を達成する極値グラフを同定する。
• n, Δ, αを用いた$\chi_\alpha(G)$の解析的上限を導出し、等号成立条件を特定する。
• 周期$C_n$ が、$-1 \leq \alpha < 0$ の場合に、唯一のユニサイクリックグラフとして$\chi_\alpha$を最大にすることを証明する。また、第二に大きなグラフを同定する。

提案手法

• α < 0 の場合に、関数$x^\alpha$の凸性・凹性を分析するため、ジェンセンの不等式を適用し、辺の寄与の比較を可能にする。
• 辺変換の補題を用いる：補題2.1は、パスを集約して1つの頂点に集中させることで、$\alpha \geq \alpha_1 \approx -1.7036$ の場合に$\chi_\alpha$が増加することを示す。
• 補題2.2を用いて、次数2の頂点から懸垂パスを、次数が小さい隣接頂点に移動させることで、$-1 \leq \alpha < 0$ の場合に$\chi_\alpha$が増加することを証明する。
• 極値グラフを定義する：木については$T_{n,\Delta}$（星型で、長さ2のパスが$n-\Delta-1$本、懸垂頂点が$2\Delta+1-n$個）、ユニサイクリックグラフについては$U_{n,\Delta}$（三角形に、長さ2のパスが$n-\Delta-1$本、懸垂頂点が$2\Delta-n-1$個が接続）を定義する。
• 2つの場合について、最大$\chi_\alpha$値の閉形式表現を導出する：木については$n/2 \leq \Delta \leq n-1$ および $2 \leq \Delta \leq (n-1)/2$、ユニサイクリックグラフについては$n+2/2 \leq \Delta \leq n-1$ および $2 \leq \Delta \leq (n+1)/2$。
• 関数$f(x) = (x-2)3^\alpha + x(x+2)^\alpha + (n-2x+2)4^\alpha$ が、$x \geq 2$ および $-1 \leq \alpha < 0$ の場合に厳密に単調減少であることを証明し、$C_n$ が最適であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定最大次数Δをもつn頂点の木について、$-1.7036 \leq \alpha < 0$ の場合に、一般化された和接続性指数$\chi_\alpha(G)$の最大値は何か？
• RQ2 固定Δをもつn頂点のユニサイクリックグラフについて、$-1 \leq \alpha < 0$ の場合に、$\chi_\alpha(G)$の最大値は何か？
• RQ3 特定のグラフ構造として、これらのグラフクラスで最大および第二に大きな$\chi_\alpha$値を達成するのはどのような構造か？
• RQ4 パスの集約や移動といった辺変換ルールが、負のα値における$\chi_\alpha$の値にどのように影響するか？
• RQ5 周期$C_n$ は、$-1 \leq \alpha < 0$ の場合に、唯一のユニサイクリックグラフとして$\chi_\alpha$を最大にするか？第二に良いグラフは何か？

主な発見

• $n/2 \leq \Delta \leq n-1$ および $\alpha_1 \leq \alpha < 0$（$\alpha_1 \approx -1.7036$）のとき、木の最大$\chi_\alpha$は$((\Delta+2)^\alpha - (\Delta+1)^\alpha + 3^\alpha)(n-\Delta-1) + \Delta(\Delta+1)^\alpha$ であり、これは$T_{n,\Delta}$によって一意に達成される。
• 2 \leq \Delta \leq (n-1)/2 および $\alpha_1 \leq \alpha < 0$ のとき、木の最大$\chi_\alpha$は$((\Delta+2)^\alpha + 3^\alpha - 4^\alpha)\Delta + (n-\Delta-1)4^\alpha$ であり、これは$T_{n,\Delta}$によって一意に達成される。
• n+2/2 \leq \Delta \leq n-1 および $-1 \leq \alpha < 0$ のとき、ユニサイクリックグラフの最大$\chi_\alpha$は$(n-\Delta-1)3^\alpha + (n-\Delta+1)(\Delta+2)^\alpha + (2\Delta-n-1)(\Delta+1)^\alpha + 4^\alpha$ であり、これは$U_{n,\Delta}$によって一意に達成される。
• 2 \leq \Delta \leq (n+1)/2 および $-1 \leq \alpha < 0$ のとき、ユニサイクリックグラフの最大$\chi_\alpha$は$(\Delta-2)3^\alpha + \Delta(\Delta+2)^\alpha + (n-2\Delta+2)4^\alpha$ であり、これは、サイクルの頂点に長さ2以上のパスが$\Delta-2$本接続されたグラフによって達成される。
• 周期$C_n$ は、$-1 \leq \alpha < 0$ の場合に、すべてのn頂点ユニサイクリックグラフの中で唯一$\chi_\alpha$を最大にする。その値は$n \cdot 4^\alpha$である。
• n \geq 4 のとき、第二に大きな$\chi_\alpha$は、サイクルに長さ2以上のパスが接続されたユニサイクリックグラフによって達成される：n=4の場合は$2 \cdot 4^\alpha + 2 \cdot 5^\alpha$、n \geq 5の場合は$(n-4)4^\alpha + 3 \cdot 5^\alpha + 3^\alpha$である。