[論文レビュー] General Superfield Quantization Method. II. General Superfield Theory of Fields: Hamiltonian Formalism

Alexander A. Reshetnyak|ArXiv.org|Mar 31, 2003

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、参考文献[1]で提唱された超場の正準化手法を拡張し、Legendre変換を用いて、超場 $ \mathcal{A}^\imath(\theta) $、超反場 $ \mathcal{A}^\ast_\imath(\theta) $、および奇数のGrassmann変数 $ \theta $ でパrameter化された奇数の位相空間上で、超ハミルトニアン作用 $ S_H $ を導出するハミルトニアン形式を確立する。主な貢献は、等価なハミルトニアン系の構築と、第二階微分の奇数作用素 $ \Delta^{cl}(\theta) $ を用いた非自明なマスター方程式の同定であり、これにより超場形式におけるBRSTに類似した対称性の実現が可能になる。

ABSTRACT

In the framework of started in Ref.[1] construction procedure of the general superfield quantization method for gauge theories in Lagrangian formalism the rules for Hamiltonian formulation of general superfield theory of fields (GSTF) are introduced and are on the whole considered. Mathematical means developed in [1] for Lagrangian formulation of GSTF are extended to use in Hamiltonian one. Hamiltonization for Lagrangian formulation of GSTF via Legendre transform of superfunction $S_{L}\bigl({\cal A}(θ),{\stackrel{\circ}{\cal A}}(θ),θ\bigr)$ with respect to ${\stackrel{\circ}{{\cal A}^{\imath}}}(θ)$ is considered. As result on the space $T^{\ast}_{odd}{\cal M}_{cl} imes \{θ\}$ parametrized by classical superfields ${\cal A}^{\imath}(θ)$, superantifields ${\cal A}^{\ast}_{\imath}(θ)$ and odd Grassmann variable $θ$ the superfunction $S_{H}({\cal A}(θ),{\cal A}^{\ast}(θ),θ)$ is defined. Being equivalent to different types of Euler-Lagrange equations the distinct Hamiltonian systems are investigated. Translations along $θ$ for superfunctions on $T^{\ast}_{odd}{\cal M}_{cl} imes \{θ\}$ being associated with these systems are studied. Various types of antibrackets and differential operators acting on $C^{k}\bigl(T^{\ast}_{odd}{\cal M}_{cl} imes \{θ\} \bigr)$ are considered. Component (on $θ$)formulation for GSTF quantities and operations is produced. Analogy between ordinary Hamiltonian classical mechanics and GSTF in Hamiltonian formulation is proposed. Realization of the GSTF general scheme is demonstrated on 6 models.

研究の動機と目的

• 一般超場理論（GSTF）のハミルトニアン形式を確立し、一般超場正準化手法（GSQM）の基礎的段階を提供すること。
• 参考文献[1]のラグランジュ的超場形式を、超場上のLegendre変換を用いてハミルトニアン枠組みへ拡張すること。
• 超反場、奇数のポアソン括弧、奇数のハミルトニアン方程式を導入することで、古典的ハミルトニアン力学とGSTFとの対応を確立すること。
• 第二階微分の奇数作用素 $ \Delta^{cl}(\theta) $ の役割と、マスター方程式およびハミルトニアン系の可解性との関係を調査すること。
• 自由および自己相互作用を有するスカラー、スピノル、ベクトル超場を含む、6つの具体的なモデルを通じて形式の有効性を示すこと。

提案手法

• ラグランジュ的超作用 $ S_L(\theta) $ を $ \stackrel{\circ}{{\cal A}}^\imath(\theta) $ に関してLegendre変換することで、奇数の余接バンドル $ T^\ast_{odd}{\cal M}_{cl} \times \{\theta\} $ 上のハミルトニアン超関数 $ S_H({\cal A}(\theta), {\cal A}^\ast(\theta), \theta) $ を定義する。
• 関数空間 $ C^k(T^\ast_{odd}{\cal M}_{cl} \times \{\theta\}) $ 上に奇数のポアソン括弧 $ (\cdot, \cdot)_\theta $ を導入し、奇数のハミルトニアン運動方程式を定式化する。
• 標準的作用原理を一般化した奇数のハミルトニアン超関数 $ Z_H[\Gamma] = \int d\theta \left( \stackrel{\circ}{{\cal A}}^\imath(\theta) {\cal A}^\ast_\imath(\theta) - S_H(\Gamma(\theta), \theta) \right) $ を定義する。
• 超関数上に作用する第二階微分の奇数微分作用素 $ \Delta^{cl}(\theta) $ を構成し、非自明なマスター方程式 $ \Delta^{cl}(\theta) S_H = 0 $ を生成させ、ハミルトニアン系の整合性を保証する。
• ハミルトニアン系の $ \theta $-積分曲線に沿う並進対称性を分析し、ゲージ不変性および可解性条件と関連付ける。
• 超場を $ \theta $ のべき級数に展開することで、GSTFの成分形式を提示し、標準的場理論的モデルと比較可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数の位相空間およびGrassmann変数時間 $ \theta $ の文脈において、Legendre変換を超場に一般化する方法は何か？
• RQ2 $ T^\ast_{odd}{\cal M}_{cl} \times \{\theta\} $ 上に定義された奇数のハミルトニアン系の構造は何か？ また、元のラグランジュ形式とどのように関係しているか？
• RQ3 第二階微分の奇数作用素 $ \Delta^{cl}(\theta) $ は、マスター方程式の生成およびハミルトニアン力学の整合性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 $ \theta $-超空間における奇数のポアソン括弧および奇数のハミルトニアン運動方程式は、古典的力学をどのように一般化するか？
• RQ5 GSTFのハミルトニアン形式は、自己相互作用を有するスカラー、スピノル、ベクトル超場のような具体的なモデルにどの程度適用可能か？

主な発見

• ラグランジュ的超作用 $ S_L(\theta) $ のLegendre変換により、奇数の位相空間 $ T^\ast_{odd}{\cal M}_{cl} \times \{\theta\} $ 上に一意に定義されたハミルトニアン超関数 $ S_H({\cal A}(\theta), {\cal A}^\ast(\theta), \theta) $ が得られ、これによりGSTFの完全なハミルトニアン形式が確立される。
• 奇数のハミルトニアン運動方程式 $ \frac{d_r \Gamma^p(\theta)}{d\theta} = (\Gamma^p(\theta), S_H(\theta))_\theta $ は、超場配置への古典的ハミルトニアンフローの一般化を実現する。
• 第二階微分の奇数作用素 $ \Delta^{cl}(\theta) $ は、非自明なマスター方程式 $ \Delta^{cl}(\theta) S_H = 0 $ を生成し、理論の整合性およびゲージ不変性に不可欠な役割を果たす。
• 自由系では、$ P_0(\theta) $ および $ P_1(\theta) $ 成分の運動方程式は同一であり線形であるが、自己相互作用系では形が異なり、非線形力学を反映する。
• 古典的力学とGSTFとの間に明確な類似性が確立される：超反場 $ \mathcal{A}^\ast_\imath(\theta) $ は運動量に対応し、奇数のポアソン括弧は標準的ポアソン括弧に対応し、奇数のハミルトニアン超関数は標準的作用関数に対応する。
• 本手法は6つのモデルに成功裏に適用され、$ D=4 $ および $ D=2k $ における質量のあるスカラー、スピノル、ベクトル超場を含む。これにより、ゲージ原理に基づく $ \theta $-超場ゲージ理論の構築が可能であることが示された。