[論文レビュー] General theory of detection and optimality

Gniewomir Sarbicki|arXiv (Cornell University)|May 6, 2009

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、凸幾何学における適切な錐の枠組みの中で、エンタングルメント・ウィtnessの検出と最適性に関する一般的な幾何的理論を展開する。Lewenstein らの最適性基準を一般化し、エンタングルメント・ウィtness が最適であるのは、それによって消える積状態ベクトルがヒルベルト空間を張るときであることを示すが、その条件を満たさないにもかかわらず最適性が成立する反例が存在し、エンタングルメント・ウィtness集合の境界に深いつながりのある幾何的構造が明らかになる。

ABSTRACT

A general formulation of the problem of detection for a pair of two cones is presented. The special case is the detection of entangled states by entanglement witnesses. Having defined what means "to detect", one can identify the subset of elements, which detect optimally. I will present the properties of this set for a general pair of cones. In particular, I prove the generalization of the theorem of Lewenstein, Krauss, Cirac, Horodecki. The entanglement witness $W$ is optimall if the set of product vectors $\{ϕ\otimes ψ: \langle ϕ\otimes ψ| W | ϕ\otimes ψ angle = 0\}$ spans the whole Hilbert space of a system. There exist optimall entangled witness, which do not fullfill this property. It is closely related to some geometrical properties of the boundary of the set of entanglement witnesses and it is possible to say something more about location of such extraordinary states.

研究の動機と目的

• 積状態ベクトルが張る基準に基づく標準的基準を超えて、エンタングルメント・ウィtnessの最適性概念を一般化すること。
• 凸幾何学における適切な錐の理論を用いて、検出と最適性の幾何的枠組みを確立すること。
• エンタングルメント・ウィtnessが最大の数のエンタングル状態を検出できる条件を特定すること、特に非分解的ウィtnessに焦点を当てる。
• エンタングルメント・ウィtnessの錐の境界構造が最適性を決定する役割を明確にすること。
• 最適性が積状態ベクトルの消える集合がヒルベルト空間を張る必要がない場合があることを特定し、標準的基準に疑問を呈すること。

提案手法

• 検出を、より大きな正の作用素の錐内における分離状態の錐との双対関係として形式化する。
• 適切な錐の理論（面、双対錐、生成集合など）を適用し、最適な要素を特徴付ける。
• ウィtness が生成する面が分離状態の錐と原点でのみ交差するという条件により最適性を定義する。
• ウィtness によって消える積状態ベクトルの錐的包と、それが双対錐を完全に生成するかを評価する。
• 非分解的最適性（nd-最適性）の概念を導入し、ウィtness とその部分転置がともにPPTエンタングル状態を最大限に検出することを要件とする。
• ウィtness がnd-最適であるための必要十分条件として、ウィtness とその部分転置の両方がゼロ固有状態を持つ積状態ベクトルがヒルベルト空間を張ることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エンタングルメント・ウィtness が最適であるための幾何的条件は何か？ そして、期待値がゼロとなる積状態ベクトルがヒルベルト空間を張ることとどのように関係するか？
• RQ2 エンタングルメント・ウィtness が最適であるかどうかを、そのゼロ固有状態を持つ積状態ベクトルの錐的包の観点から純粋に特徴付けることができるか？
• RQ3 標準的張り条件が最適性の必要条件として失敗する理由は何か？ そして、その理由をエンタングルメント・ウィtnessの錐の境界の幾何的特徴がどのように説明するか？
• RQ4 ウィtness の最適性と、そのゼロ固有状態を持つ積状態ベクトルの錐的包に含まれるフルランク状態との正確な関係は何か？
• RQ5 非分解的最適性の理論は、標準的最適性基準をどのように拡張するか？ そして、部分転置はこの拡張においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、Lewenstein, Krauss, Cirac, Horodecki の定理を一般化し、エンタングルメント・ウィtness が最適であるための必要十分条件として、期待値がゼロとなる積状態ベクトルの集合がヒルベルト空間を完全に張ることを示した。
• 積状態ベクトルがヒルベルト空間を張らないにもかかわらず最適性が成立する反例が存在し、張り条件が最適性のための十分条件ではあるが、必要条件ではないことが示された。
• 非分解的最適性（nd-最適性）においては、ウィtness とその部分転置の両方がゼロ固有状態を持つ積状態ベクトルがヒルベルト空間を張ることと、最適性が同値である。
• 分離状態の双対錐の内部が重要な役割を果たす：ウィtness が最適であるための必要十分条件は、そのゼロ固有状態を持つ積状態ベクトルの錐的包が完全な双対錐を生成することであり、これは錐的包にフルランク状態が含まれるときに限り成立する。
• エンタングルメント・ウィtnessの錐の境界の幾何は非自明であることが示された。面が必ずしも低次元の面に分解されないため、張り条件が必要条件でないことが説明される。
• 理論により、最適ウィtness の集合がウィtnessの錐の境界に存在しうり、その構造がウィtnessの錐と分離状態およびPPT状態の錐との相互作用に深く関係していることが明らかになった。