[論文レビュー] General theory of Lie derivatives for Lorentz tensors

L. Fatibene, M. Francaviglia|ArXiv.org|Apr 1, 2009

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、曲がった時空におけるローレンツテンソルのリー微分を計算する一般的な幾何的枠組みを確立し、フレーム bundle 上の Kosmann 抬上を用いる。これにより、先行研究（例：[1]）における恣意的な規定が、より基本的な構成から導かれることが示された。主な貢献は、キリングベクトルに限らない任意のベクトル場に対して一貫性があり幾何学的に動機づけられたローレンツテンソルのリー微分の定義であり、時空ベクトル場をフレーム bundle に上げ、関連する bundle 接続を通じて微分を誘導することによって実現される。

ABSTRACT

We show how the ad hoc prescriptions appeared in 2001 by Ortin for the Lie derivative of Lorentz tensors are a direct consequence of the Kosmann lift defined earlier in 1996 in a much more general setting encompassing older results of Y. Kosmann in 1971.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論においてキリングベクトル場に制限されない、ローレンツテンソルの幾何学的かつ一貫性のあるリー微分の定義を提供すること。
• 先行研究におけるローレンツテンソルのリー微分に対する恣意的規定（例：[1] において）が、より一般な Kosmann 抬上構成から導かれることが示されること。
• スピン場およびローレンツテンソル場のリー微分が標準的意味で自然でない理由を明確にし、ゲージ自然形式論によってこれを解決すること。
• 主 bundle および接続に基づく共通の幾何的枠組みに埋め込むことにより、さまざまなテンソリアルおよびスピンorial対象におけるリー微分の取り扱いを統一すること。

提案手法

• Kosmann 抬上を用い、任意の時空ベクトル場 ξ を構造群 SO(r,s) を持つフレーム bundle L(M) 上のベクトル場 に上げる幾何的構成を利用する。
• 関連 bundle 上のリー微分の引き戻しを用いて、ローレンツテンソルのリー微分を定義する。これには、フレーム bundle 上に誘導された接続を用いる。
• リーマン接続およびスピン接続を用いて、Kosmann 抬上における共変微分を計算し、計量およびローレンツ構造と整合性を保つ。
• 四元標（tetrad）およびローレンツベクトルにこの形式論を適用し、ローレンツベクトル v^a のリー微分が ℒ_ξ v^a = ξ^μ ∇_μ v^a − (∇^{[b}ξ^{a]}) v_b で与えられることを示す。これは時空的およびフレーム的変化の両方の効果を組み合わせたものである。
• 四元標 e^a_μ のリー微分が ℒ_ξ e^a_μ = −∇_μ ξ^λ e^a_λ + ∇^{[b}ξ^{a]} e_{bμ} で与えられ、キリングベクトルに対しては標準的結果に還元されることを示す。
• フレームを介した接続バンドルのセクションと接続バンドルのセクションとの間の同型を用いて、異なる表現におけるリー微分を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の曲がった時空において、ローレンツテンソルのリー微分を一貫性があり幾何学的に動機づけられた形で定式化する方法は何か？
• RQ2 なぜ以前のローレンツテンソルのリー微分に対する恣意的規定（例：[1] において）は自然でないのか？ そして、より一般な原理から導かれるか？
• RQ3 Kosmann 抬上が非キリングベクトル場のリー微分を定義する上で果たす役割は何か？ そして、非自然性の問題をどのように解消するか？
• RQ4 ゲージ自然形式論が、一般相対性理論におけるさまざまなテンソリアルおよびスピンorial場におけるリー微分の統一的取り扱いをどのように可能にするか？
• RQ5 ローレンツベクトルのリー微分は、時空的変換およびフレーム的変換の両方の観点から表現可能か？ そして、これと誘導された計量との関係は何か？

主な発見

• ローレンツテンソルのリー微分は、時空ベクトル場 ξ をフレーム bundle に上げる Kosmann 抬上によって完全に決定され、幾何学的かつ一貫性のある規定を提供する。
• 四元標のリー微分の式は ℒ_ξ e^a_μ = −∇_μ ξ^λ e^a_λ + ∇^{[b}ξ^{a]} e_{bμ} であり、キリングベクトルに対しては標準的結果に還元される。
• ローレンツベクトル v^a のリー微分は ℒ_ξ v^a = ξ^μ ∇_μ v^a − ∇^{[b}ξ^{a]} v_b で与えられ、時空的およびフレーム的進化の両方の効果が現れる。
• この形式論は、スピン場およびローレンツテンソルのリー微分に自然なものが存在しない理由を説明する。非自然性は欠陥ではなく、幾何学的必然性である。
• この枠組みは、同じゲージ自然バンドル理論的設定に埋め込むことにより、四元標、スピン場、ローレンツテンソルなどの異なる場におけるリー微分の取り扱いを統一する。
• ミンコフスキー時空では、Kosmann 抬上は座標変換におけるベクトルの標準的ローレンツ変換に還元され、平坦空間の期待と整合することが確認される。