[論文レビュー] Generalisations of Capparelli's and Primc's identities, II: perfect $A_{n-1}^{(1)}$ crystals and explicit character formulas

Jehanne Dousse, Isaac Konan|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$A_{n-1}^{(1)}$アフィンリー代数の一般化された分割恒等式とクリスタル基底理論の間の関係を確立し、$n^2$-彩色分割恒等式における差条件が、そのテンソル積 $V \otimes V^*$ の完全クリスタル上のエネルギー関数に対応することを示している。グラウンドド分割を導入することで、すべてのレベル1の非可約最高重層 $A_{n-1}^{(1)}$-モジュールに対して、明示的に正の係数を持つ非特殊化された特性式の公式を導出し、Kac-Petersonの公式を回復するとともに、単純根を用いた新しい無限積表現を提示する。

ABSTRACT

In the first paper of this series, we gave infinite families of coloured partition identities which generalise Primc's and Capparelli's classical identities. In this second paper, we study the representation theoretic consequences of our combinatorial results. First, we show that the difference conditions we defined in our $n^2$-coloured generalisation of Primc's identity, which have a very simple expression, are actually the energy function with values in $\{0,1,2\}$ for the perfect crystal of the tensor product of the vector representation and its dual in $A_{n-1}^{(1)}$. Then we introduce a new type of partitions, grounded partitions, which allows us to retrieve connections between character formulas and partition generating functions without having to perform a specialisation. Finally, using the formulas for the generating functions of our generalised partitions, we recover the Kac-Peterson character formula for the characters of all the irreducible highest weight $A_{n-1}^{(1)}$-modules of level $1$, and give a new character formula as a sum of infinite products with obviously positive coefficients in the generators $e^{- α_i} \ (i \in \{0, \dots , n-1\}),$ where the $α_i$'s are the simple roots.

研究の動機と目的

• CapparelliおよびPrimcの恒等式を、$A_{n-1}^{(1)}$ に拡張し、差条件を備えた $n^2$-彩色分割を用いる。
• これらの差条件が、$A_{n-1}^{(1)}$ のベクトル表現 $V$ 及びその双対 $V^*$ のテンソル積における完全クリスタル上のエネルギー関数に対応することを特定する。
• 特殊化を避けるためにグラウンドド分割を導入し、生成関数と特性式の直接的な関係を保つ。
• すべてのレベル1の非可約最高重層 $A_{n-1}^{(1)}$-モジュールに対して、明示的に正の係数を持つ非特殊化された特性式の公式を導出する。
• Kac-Petersonの特性式の公式を回復し、$e^{-\alpha_i}$ の生成子を用いた新しい無限積表現を提示する。

提案手法

• $A_{n-1}^{(1)}$ の $V \otimes V^*$ の完全クリスタル上のエネルギー関数から導かれる差条件を備えた $n^2$-彩色分割を定義する。
• 生成関数の構造を保つために、特殊化を必要としないグラウンドド分割を導入する。
• （KMN）2クリスタル基底特性式の公式を用いて、これらの分割の生成関数と非可約最高重層モジュールの特性式を関連付ける。
• エネルギー関数の計算を適用し、差条件が $V \otimes V^*$ のクリスタル構造と一致することを検証する。
• クリスタル作用素 $\tilde{f}_i$ における明示的経路解析を実施し、エネルギー関数を計算し、差条件の整合性を確認する。
• 区間算術と特性関数を用いてエネルギー値を計算し、公式 $\Delta(a_k b_l; a_{k'} b_{l'})$ の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 差条件が $A_{n-1}^{(1)}$ の $V \otimes V^*$ の完全クリスタル上のエネルギー関数とどのように関係しているか。
• RQ2 グラウンドド分割を用いることで、特殊化を避け、生成関数の構造を保ちながら特性式の公式を導出できるか。
• RQ3 すべてのレベル1の非可約最高重層 $A_{n-1}^{(1)}$-モジュールに対して、明示的に正の係数を持つ非特殊化された特性式の公式を導出できるか。
• RQ4 $V \otimes V^*$ の完全クリスタル上のエネルギー関数が、一般化された分割恒等式の組合せ論をどのように表現しているか。
• RQ5 Kac-Petersonの特性式の公式を回復し、$e^{-\alpha_i}$ の生成子を用いた正の係数を持つ無限積の和として再表現できるか。

主な発見

• $n^2$-彩色分割恒等式における差条件が、$A_{n-1}^{(1)}$ の $V \otimes V^*$ の完全クリスタル上のエネルギー関数（値が \{0,1,2\} に属する）に等価であることが示された。
• 特殊化を避け、生成関数と特性式の直接的関係を保つための組合せ論的道具として、グラウンドド分割が導入された。
• 一般化された分割の生成関数は、すべてのレベル1の非可約最高重層 $A_{n-1}^{(1)}$-モジュールに対して、明示的に正の係数を持つ非特殊化された特性式の公式をもたらした。
• この分割論的アプローチにより、レベル1モジュールのKac-Peterson特性式の公式が回復された。
• 単純根 $\alpha_i$ を用いた $e^{-\alpha_i}$ の生成子において、正の係数を持つ無限積の和として表される新しい特性式の公式が導出された。
• クリスタル作用素における経路解析を通じてエネルギー関数の計算が検証され、差条件がクリスタル構造と整合的であることが確認された。