[論文レビュー] Generalisations of the Camassa-Holm equation

В. С. Новиков|ArXiv.org|May 13, 2009

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 11被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、摂動的対称性アプローチを用いて、2次および3次非線形項を有するカマッサ＝ホルム方程式の可積分な一般化を分類する。28個の方程式（新規のものも含む）を同定し、それらは無限個の高次対称性を有し、2次、3次、5次の可積分な準線形進化方程式の負の流れと同値であることが判明。多くの方程式に対しては、ラックス表現または線形化変換が提供されている。

ABSTRACT

We classify generalised Camassa-Holm type equations which possess infinite hierarchies of higher symmetries. We show that the obtained equations can be treated as negative flows of integrable quasi-linear scalar evolution equations of orders 2, 3 and 5. We present the corresponding Lax representations or linearisation transformations for these equations. Some of the obtained equations seem to be new.

研究の動機と目的

• 2次および3次非線形項を有するカマッサ＝ホルム方程式の可積分な一般化で、無限個の高次対称性を有するものをすべて分類すること。
• 摂動的対称性アプローチを用いて、既知のカマッサ＝ホルム方程式およびデガスペリス＝プロセッチ方程式を越えて分類を拡張すること。
• ピークオンやコンパクトオンのような新たな解構造を支持する可能性を有する、一般化カマッサ＝ホルムクラス内での新規方程式を同定すること。
• 得られた方程式に対してラックス表現または線形化変換を確立し、可積分性を確認すること。
• すべての分類済み方程式が、2次、3次、5次の可積分な準線形スカラー進化方程式の負の流れとして生じることを示すこと。

提案手法

• シンボリック表現における摂動的対称性アプローチを用い、無限個の高次対称性の存在をテストする。
• 方程式の右辺が $ u $ 及びその $ x $-微分係数に関して、2次または3次の同次微分多項式であると仮定する。
• 微分多項式環 $ ar{R} $ を用い、非進化的構造を扱うために逆作用素 $ riangle = (1 - D_x^2)^{-1} $ を拡張して用いる。
• 形式的再帰作用素に準局所性条件を課し、可積分なケースを特定する。
• 得られた方程式に対して、可積分性を確認するため、ラックス表現または線形化変換を導出する。
• 方程式が2次、3次、5次のスカラー進化方程式の負の流れとして、既知の可積分階層と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次および3次非線形項を有するカマッサ＝ホルム方程式の一般化のうち、無限個の高次対称性を有するものはどれか？
• RQ2 摂動的対称性アプローチをシンボリック設定で用いることで、このような可積分方程式をすべて分類できるか？
• RQ3 得られた方程式は既知の可積分階層に対応するか？ もし対応するならば、スカラー進化方程式の負の流れとしてどのように関連するか？
• RQ4 このクラスに、これまでに未知であった新たな可積分方程式は存在するか？
• RQ5 新規方程式に対して、どのようなラックス表現または線形化変換を構築できるか？

主な発見

• 本論文では、2次および3次非線形項を有するカマッサ＝ホルム方程式の可積分な一般化を合計28個同定し、それらはすべて無限個の高次対称性を有することが判明した。
• その中で、著者らの知る限り、いくつかの式は新規であり、特に $ (1 - D_x^2)u_t = u^2 u_{xxx} + 3u u_x u_{xx} - 4u^2 u_x $ の形をした方程式が含まれる。この式は最近、ピークオン解の研究の対象となっている。
• すべての分類済み方程式が、2次、3次、5次の可積分な準線形スカラー進化方程式の負の流れとして実現されていることが示された。
• 多くの方程式に対して、明示的なラックス表現または線形化変換が構築されており、可積分性が確認された。
• 28のすべての式に対して、最初の非自明な高次対称性が提供されており、一部の式では対称性が準局所的であることが判明した。
• 式 (31)、(32)、(5)、(34)、(35) は、バイハミルトニアン構造およびピークオン解を有することが示され、詳細なラックス表現が導出された。