[論文レビュー] Generalised Brownian bridges: examples

Xue-Mei Li|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、時間に依存するドリフトを持つSDEによって定義される一般化されたブラウン運動ブリッジ過程を調査し、ドリフトパラメータ $ c \neq 1 $ の場合、同じカマラ＝マーティン空間 $ H_{0,0} $ を共有するにもかかわらず、古典的ブラウン運動ブリッジ測度 $ \nu^{(1)} $ に対して $ \nu^{(c)} $ が特異的であることを示している。$ c > \frac{1}{2} $ のとき、両者で空間が一致する。さらに、ノヴィコフ型の積分可能性条件を満たす摂動を用いて、等価な測度の例を構成している。

ABSTRACT

We observe that the probability distribution of the Brownian motion with drift $-c \frac x {1-t}$ where $c ot =1$ is singular with respect to that of the classical Brownian bridge measure on $[0,1]$, while their Cameron-Martin spaces are equal set-wise if and only if $c> \frac 12$, providing also examples of exponential martingales on $[0,1)$ not extendable to a continuous martingale on $[0,1]$. Other examples of generalised Brownian bridges are also studied.

研究の動機と目的

• 時間に依存するドリフトを持つSDEによって誘導される一般化ブラウン運動ブリッジ測度の等価性または特異性を分析すること。
• 異なる法則であっても、同じカマラ＝マーティン空間を共有する条件を調査すること。
• 古典的ブラウン運動ブリッジ測度と等価である明示的な一般化ブリッジの例を構成すること。
• 非古典的ブリッジ測度の文脈において、$[0,1)$ 上で定義された指数マーティンゲールが $[0,1]$ 上で連続マーティンゲールに拡張できないことの存在を、特異的測度を用いて探求すること。
• カマラ＝マーティン定理およびギルサンフ・型変換が非古典的ブリッジ測度の文脈で果たす役割を明確化すること。

提案手法

• 区間 $[0,1)$ 上で $ dz_t = dB_t - \frac{c}{1-t} z_t \, dt $ というSDEを分析し、$ C_{0,0}([0,1]; \mathbb{R}^n) $ 上のガウス測度 $ \nu^{(c)} $ を生成する。
• 測度 $ \nu^{(c)} $ と $ \nu^{(1)} $ のカマラ＝マーティン空間を比較し、$ c > \frac{1}{2} $ のときかつそのときに限り、集合として一致することを示す。
• カマラ＝マーティン定理とヒルベルト＝シュミット作用素理論を用い、共分散作用素 $ R $ と $ R_c $ を用いて、作用素 $ R^{-1/2} R_c R^{-1/2} $ を分析することで、等価性を評価する。
• ノヴィコフ基準を適用して、Radon-Nikodym導来 $ \frac{d\nu_2}{d\nu^{(1)}} $ の一様可積分性を確認し、有界ドリフト摂動下での等価性を保証する。
• 密度過程 $ \exp\left( \int_0^t \langle dB_s, \frac{f(s,z_s)}{(1-s)^\delta} \rangle - \frac{1}{2} \int_0^t \frac{|f(s,z_s)|^2}{(1-s)^{2\delta}} ds \right) $ を導出し、$ t \to 1 $ のとき $ L^1 $ で収束することを示す。
• フェルヌークの定理を用いて、$ \sup_{t \leq 1} |z_t|^2 $ の指数的可積分性を確立し、ノヴィコフ条件の支持を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフト項 $ -\frac{c}{1-t} z_t $ を持つ一般化ブラウン運動ブリッジの法則が、古典的ブラウン運動ブリッジ測度と等価となる条件は何か？
• RQ2 2つの一般化ブリッジ測度が互いに特異的であっても、同じカマラ＝マーティン空間を持つのはどのような場合か？
• RQ3 このようなブリッジと関連する $[0,1)$ 上の指数マーティンゲールが $[0,1]$ 上に連続的に拡張できない場合があり、これはギルサンフ変換に何を意味するか？
• RQ4 時間に依存するドリフト $ f(t,x) $ のどのクラスが、対応する測度が古典的ブリッジ測度と等価のままである保証を与えるか？
• RQ5 共分散作用素およびその逆作用素の構造は、経路空間上のガウス測度の等価性とどのように関係するか？

主な発見

• SDE $ dz_t = dB_t - \frac{c}{1-t} z_t dt $ によって誘導される測度 $ \nu^{(c)} $ は、すべての $ c \in (0,1) \cup (1,\infty) $ に対して、$ \nu^{(1)} $ に対して特異的である。$ c > \frac{1}{2} $ のとき、両者のカマラ＝マーティン空間は集合として一致する。
• $ \nu^{(c)} $ のカマラ＝マーティン空間が $ H_{0,0} $ であるのは、$ c > \frac{1}{2} $ のときに限り、$ c \leq \frac{1}{2} $ のときは空間が異なる。
• $ c \neq 1 $ のとき、作用素 $ A^{-1} R_c (A^*)^{-1} = I + K $ の核 $ q_c(s,t) $ は、$ c = 1 $ を除き $ L^2 $-可積分でない（対数特異性のおかげ）ため、特異性が成立する。
• 摂動付きSDE $ dx_t = dB_t - \frac{x_t}{1-t} dt + \frac{f(t,x_t)}{(1-t)^\delta} dt $ において、$ \delta < \frac{1}{2} $ かつ $ |f(t,x)|^2 \leq c|x|^2 + c $、$ c^2 \leq \frac{1}{4}(1 - 2\delta) $ を満たすとき、測度 $ \nu_2 $ は $ \nu^{(1)} $ と等価である。
• Radon-Nikodym導来 $ \frac{d\nu_2}{d\nu^{(1)}} $ は、$[0,1)$ 上の一様可積分なマーティンゲールであり、$ L^1 $ で収束するため、$ \nu_2 $ と $ \nu^{(1)} $ が等価であることが保証される。
• 本稿では、$ c \neq 1 $ の特異的測度 $ \nu^{(c)} $ に由来する、$[0,1)$ 上で定義された指数マーティンゲールで、$[0,1]$ 上に連続的に拡張できない例を提供している。