[論文レビュー] Generalised Cosets

Saskia Demulder, Falk Haßler+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、一般化幾何学を二重コセット $M = \widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}/H$ に拡張し、一般化フレームと $H$-値スピン接続を構成することで、一般化Lie微分を介して一般化内在ねじれが共変的に定常となるようにしている。この枠組みにより、10次元超重力の整合的断片化が可能となり、接続 $\mathscr{A}$ の非自明なホロノミーから局在化したベクトル多重項が生じ、Poisson-Lie双対性およびNS5-brane源との新たな関係が明らかになる。

ABSTRACT

Recent work has shown that two-dimensional non-linear $σ$-models on group manifolds with Poisson-Lie symmetry can be understood within generalised geometry as exemplars of generalised parallelisable spaces. Here we extend this idea to target spaces constructed as double cosets $M=\widetilde{G} \backslash D / H$. Mirroring conventional coset geometries, we show that on $M$ one can construct a generalised frame field and a $H$-valued generalised spin connection that together furnish an algebra under the generalised Lie derivative. This results naturally in a generalised covariant derivative with a (covariantly) constant generalised intrinsic torsion, lending itself to the construction of consistent truncations of 10-dimensional supergravity compactified on $M$. An important feature is that $M$ can admit distinguished points, around which the generalised tangent bundle should be augmented by localised vector multiplets. We illustrate these ideas with explicit examples of two-dimensional parafermionic theories and NS5-branes on a circle.

研究の動機と目的

• 右コセット $\widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}$ から二重コセット $\widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}/H$ への一般化平行可変空間の概念を一般化すること。
• 空間 $M = \widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}/H$ 上に一般化フレームと $H$-値一般化スピン接続を構成し、一般化Lie微分の下で閉じることを示すこと。
• 得られる一般化共変微分が（共変的に）定常な内在ねじれを持つことの証明により、10次元超重力の整合的断片化を可能にすること。
• $\widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}$ 上の接続 $\mathscr{A}$ の非自明なホロノミーが、$M = \widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}/H$ に引き戻された際にどのように局在化したベクトル多重項とNS5-brane源を生じるかを特定すること。
• 具体的な例（パラフェルミオン理論や円上のNS5-brane）を用いて枠組みを適用し、$\lambda$-変形および幾何的剛性との関係を示すこと。

提案手法

• スピン接続の構成には、符号が反転する不変ペアリングを持つリー群 $\mathfrak{D}$ と、$\mathfrak{D}$ に含まれる最大的自己双対部分群 $\widetilde{G} \subset \mathfrak{D}$ を用い、$H$ は右作用をもつさらに小さい部分群である。
• 一般化フレーム $E_A$ は、$M = \widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}/H$ のコセット代表元 $m$ から構成され、一般化Lie微分の下で変換する。
• 一般化スピン接続 $\mathscr{A}$ は、$\widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}$ 上の平坦接続として定義され、$M$ への引き戻しは非自明になり得る。これにより、場強度 $\mathscr{F}$ が生じる。
• 内在ねじれ $\mathcal{F}_{AB}{}^C$ は、$\mathfrak{d}$（$\mathfrak{D}$ のリー代数）の構造定数から導かれる。これは一般化共変微分の下で共変的に定常である。
• この枠組みは、2次元のパラフェルミオン理論および円上のNS5-braneに適用され、一般化計量とフレーム場が明示的に計算されている。
• $\mathscr{A}$ のホロノミーの役割が分析され、非自明なホロノミーが局在化したベクトル多重項と、$H$-フラックスのBianchi恒等式の破れを引き起こし、NS5-brane源の存在を示唆することが分かった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化平行可変幾何学を右コセット $\widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}$ から二重コセット $\widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}/H$ にどのように拡張できるか。
• RQ2 $M = \widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}/H$ 上で、$H$-値一般化スピン接続 $\mathscr{A}$ が一貫した一般化共変微分を定義するために果たす役割は何か。
• RQ3 $\widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}$ 上の接続 $\mathscr{A}$ の非自明なホロノミーが、$M$ に引き戻された際にどのように局在化したベクトル多重項を生じるか。
• RQ4 $\mathscr{A}$ の場強度 $\mathscr{F}$ と、$M$ への非自明な引き戻しは、$H$-フラックスのBianchi恒等式の破れを通じて、どのようにNS5-brane源の存在を示唆するか。
• RQ5 $M$ 上の一般化フレームと計量を用いて、$\lambda$-変形を実現できるか、あるいはNS5-braneが円上にある場合のように剛性を示すことができるか。

主な発見

• 空間 $M = \widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}/H$ 上の一般化フレームと $H$-値スピン接続は、一般化Lie微分の下で閉じており、共変的に定常な内在ねじれを持つ一貫した一般化共変微分を生成する。
• 内在ねじれ $\mathcal{F}_{AB}{}^C$ は、$\mathfrak{d}$（$\mathfrak{D}$ のリー代数）の構造定数によって決定され、一般化微分の下で共変的に定常のままである。
• $\widetilde{G}\backslash\mathfrak{D}$ 上の平坦接続 $\mathscr{A}$ の非自明なホロノミーは、$M$ に引き戻された際に非自明な場強度 $\mathscr{F}$ を生じ、これにより局在化したベクトル多重項が生じる。
• $M$ 上での $\mathscr{F}$ の存在は、NS3形式 $H$ のBianchi恒等式を破るため、幾何学にNS5-brane源の存在を示唆する。
• パラフェルミオン理論では、一般化計量が $\lambda$-変形を許容し、文献に既知の可積分変形と明示的に一致する。
• NS5-braneが円上にある例では、幾何学は剛性を示し、$\lambda$-型変形を許容しない。これはパラフェルミオン系とは異なる幾何的構造を示している。