[論文レビュー] Generalised golden ratios over integer alphabets

Simon Baker|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、サイズ $ m $ の整数アルファベットへの古典的黄金比の一般化を行い、$ \beta $-展開が非可算に多く存在するか、一意に存在するかを分ける臨界閾値 $ \mathcal{G}(m) $ を導入する。$ \beta < \mathcal{G}(m) $ の場合、任意の $ x \in (0, \frac{m}{\beta-1}) $ は非可算に多くの展開を持つ。$ \beta > \mathcal{G}(m) $ の場合、一部の $ x $ は唯一の展開を持つ。$ \mathcal{G}(m) $ の明示的公式は、力学系と区間解析を用いて導出され、$ \mathcal{G}(m) $ はピゾ数である。

ABSTRACT

It is a well known result that for $β\in(1,\frac{1+\sqrt{5}}{2})$ and $x\in(0,\frac{1}{β-1})$ there exists uncountably many $(ε_{i})_{i=1}^{\infty}\in {0,1}^{\mathbb{N}}$ such that $x=\sum_{i=1}^{\infty}ε_{i}β^{-i}.$ When $β\in(\frac{1+\sqrt{5}}{2},2]$ there exists $x\in (0,\frac{1}{β-1})$ for which there exists a unique $(ε_{i})_{i=1}^{\infty}\in {0,1}^{\mathbb{N}}$ such that $x=\sum_{i=1}^{\infty}ε_{i}β^{-i}.$ In this paper we consider the more general case when our sequences are elements of ${0,...,m}^{\mathbb{N}}.$ We show that an analogue of the golden ratio exists and give an explicit formula for it.

研究の動機と目的

• バイナリ展開（$ m=1 $）における古典的黄金比の概念を、一般の整数アルファベット $ \{0, \ldots, m\} $ に拡張すること。
• $ \beta $-展開が非可算に多く存在するか、一意に存在するかを分ける臨界閾値 $ \mathcal{G}(m) $ を特定すること。
• 動的システムと区間写像技術を用いて、すべての $ m \in \mathbb{N} $ に対して有効な $ \mathcal{G}(m) $ の明示的公式を提供すること。
• $ \beta < \mathcal{G}(m) $ における $ \beta $-展開集合の成長率および次元論的性質を分析し、$ \beta > \mathcal{G}(m) $ における一意的展開の構造を検討すること。

提案手法

• 反復写像 $ T_{\beta,i}(x) = \beta x - i $ を用いて $ \beta $-展開を定義し、固定点 $ \frac{i}{\beta-1} $ からの距離を要因 $ \beta $ でスケーリングする。
• 写像の有限および無限列の集合 $ \Omega_{\beta,m}(x) $ を用いて $ x $ の $ \beta $-展開を特徴付け、$ |\Sigma_{\beta,m}(x)| = |\Omega_{\beta,m}(x)| $ が成り立つことを示す。
• 列が発散する可能性がある臨界区間 $ \mathcal{I}_\beta $ を確立し、$ \beta < \mathcal{G}(m) $ の場合、すべての $ x \in I_{\beta,m} $ がこのような列を非可算に多く持つことを証明する。
• 区間被覆と収縮の議論を適用して、臨界領域から脱出するために必要な写像の数を制限し、非可算的分岐を保証する。
• 固定点の構造と区間の重なりを用いて、$ m $ が偶数か奇数かに応じて $ \mathcal{G}(m) $ の閾値を導出する。
• $ \mathcal{G}(m) $ がピゾ数であることを、代数的性質と共役の絶対値条件を検証することで証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $ \beta \in (1, m+1] $ に対して、任意の $ x \in (0, \frac{m}{\beta-1}) $ が $ \{0, \ldots, m\} $ の数字を用いて非可算に多くの $ \beta $-展開を持つのか？
• RQ2 非可算的展開の領域と一意的展開を持つ点が存在する領域を分ける正確な閾値 $ \mathcal{G}(m) $ は何か？
• RQ3 $ \beta $ が $ \mathcal{G}(m) $ を超えて増加する際、特に一意的展開の出現を伴って $ \beta $-展開の構造はどのように変化するのか？
• RQ4 黄金比の概念を非バイナリアルファベットに一般化できるか。もしそうなら、一般化された閾値の閉形式表現は何か？

主な発見

• 一般化された黄金比 $ \mathcal{G}(m) $ は、$ m = 2k $ の場合 $ \mathcal{G}(m) = k+1 $、$ m = 2k+1 $ の場合 $ \mathcal{G}(m) = \frac{k+1 + \sqrt{k^2 + 6k + 5}}{2} $ として明示的に与えられる。
• $ \beta < \mathcal{G}(m) $ の場合、任意の $ x \in (0, \frac{m}{\beta-1}) $ は $ \{0, \ldots, m\}^\mathbb{N} $ 内で非可算に多くの $ \beta $-展開を持つ。
• $ \beta > \mathcal{G}(m) $ の場合、$ (0, \frac{m}{\beta-1}) $ 内に少なくとも一つの $ x $ が一意の $ \beta $-展開を持つ。
• $ \mathcal{G}(m) $ はすべての $ m \in \mathbb{N} $ に対してピゾ数である。これは、1より大きい実代数的整数であり、すべてのガロア共役の絶対値が1未満であるためである。
• 本稿では $ m = 1 $ から $ 10 $ までの $ \mathcal{G}(m) $、$ \beta_f(m) $、$ \beta_c(m) $ の値の表を提供しており、$ \mathcal{G}(m) $ が $ m $ と共に増加し、$ m+1 $ に近づくことが示されている。
• $ \beta < \mathcal{G}(m) $ における $ \beta $-展開集合の成長率および次元論的性質が分析されており、展開集合に複雑なフラクタル的構造が存在することが示唆されている。