[論文レビュー] Generalised intermediate dimensions

Amlan Banaji|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Falconer らの中間次元の一般化として、固定されたスケーリング $[\delta^{1/\theta}, \delta]$ を、より広い関数族 $\Phi(\delta)$ に置き換える $\Phi$-中間次元を導入する。これにより、中間次元が不連続となるフラクタル集合のより細かい幾何的解析が可能になる。主な貢献は、任意のコンパクト集合に対して、ハウスドルフ次元とボックス次元の間を完全に補間する $\Phi$ 関数の族が存在することの証明である。これは、標準の中間次元が失敗する場合でも成立する。

ABSTRACT

We introduce a family of dimensions, which we call the $Φ$-intermediate dimensions, that lie between the Hausdorff and box dimensions and generalise the intermediate dimensions introduced by Falconer, Fraser and Kempton. This is done by restricting the relative sizes of the covering sets in a way that allows for greater refinement than in the definition of the intermediate dimensions. We also extend the theory from Euclidean space to a wider class of metric spaces. We prove that these dimensions can be used to 'recover the interpolation' between the Hausdorff and box dimensions of compact subsets for which the intermediate dimensions are discontinuous at $θ=0$, thus providing finer geometric information about such sets. We prove continuity-like results involving the Assouad and lower dimensions, which give a sharp general lower bound for the intermediate dimensions that is positive for all $θ\in (0,1]$ for sets with positive box dimension. We also prove Hölder distortion estimates, a mass distribution principle, and a Frostman type lemma, which we use to study dimensions of product sets.

研究の動機と目的

• 固定されたスケーリング区間を、$\Phi(\delta)$ というより広い関数族に置き換えることで中間次元を一般化し、特に $\theta=0$ で不連続となる集合に対して、より細かい幾何的解析を可能にする。
• 中間次元の理論を、ユークリッド空間からより広いクラスの距離空間へ拡張する。
• 標準の中間次元が $\theta=0$ で不連続となる場合に、ハウスドルフ次元とボックス次元の間を連続的補間する方法を提供する。
• アッソワド次元と下位次元を含む連続性に類する境界を確立し、$\theta \in (0,1]$ に対して明確な正の下界を導出する。
• 積集合の次元を研究するためのツールとして、質量分布の法則やフロストマン型補題を構築する。

提案手法

• 適切な関数 $\Phi$ が $\delta \to 0^+$ のとき $\Phi(\delta) \to 0$ かつ $\Phi(\delta)/\delta \to 0$ を満たすものとして、$\Phi$-中間次元を、被覆集合の直径を $[\Phi(\delta), \delta]$ に制限することによって定義する。
• ユークリッド空間を超えて、距離空間のコンパクト部分集合に対しても定義を一般化する。
• ホルダー連続写像の下での $\Phi$-中間次元に対するホルダー歪み推定を証明し、ホルダー指数に依存する依存関係を示す。
• $\Phi$-中間次元を、減衰が制御された測度を用いて有界化するための質量分布の法則とフロストマン型補題を確立する。
• これらのツールを用いて、$\Phi$-中間次元の積公式と有限安定性の性質を導出する。
• 任意の $s \in [\dim_H F, \overline{\dim}_B F]$ に対して、$\underline{\dim}^{\Phi_s}F = \min\{s, \underline{\dim}_B F\}$ および $\overline{\dim}^{\Phi_s}F = \min\{s, \overline{\dim}_B F\}$ を満たす、明示的な関数族 $\Phi_s$ を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中間次元は、被覆集合の相対的サイズをより細かく制御できるように一般化可能か？特に、標準の中間次元が $\theta=0$ で不連続となる集合に対しては。
• RQ2 任意のコンパクト集合に対して、$\Phi$-中間次元がハウスドルフ次元とボックス次元の間を完全に補間する関数族 $\Phi$ を構成可能か？
• RQ3 $\Phi$-中間次元はホルダー写像およびリプシッツ写像の下でどのように振る舞い、どのような歪み推定が可能か？
• RQ4 $\Phi$-中間次元を支配する質量分布の法則およびフロストマン型補題は何か？そして、それらは積集合の解析にどのように応用できるか？
• RQ5 $\Phi$-中間次元はパrameter $\Phi$ に関して連続か？また、異なる集合間で連続性を保証できるか？

主な発見

• 任意のコンパクト集合 $F$ に対して、$\underline{\dim}^{\Phi_s}F = \min\{s, \underline{\dim}_B F\}$ および $\overline{\dim}^{\Phi_s}F = \min\{s, \overline{\dim}_B F\}$ を満たす適切な関数族 $\Phi_s$ が存在する。$s \in [\dim_H F, \overline{\dim}_B F]$ のすべての $s$ に対して、ハウスドルフ次元とボックス次元の間を完全に補間可能である。
• $\Phi$-中間次元は標準の中間次元では $\theta$ に関して連続であるが、本稿では、他の $\Phi$ 関数族を用いる場合、特定の集合では連続性が成立しないことが示されており、$F = E \cup G$ の反例によって裏付けられている。
• 明確な下界が確立された：任意の正のボックス次元をもつ集合に対して、すべての $\theta \in (0,1]$ に対して $\Phi$-中間次元は正であり、その下界は下位次元とアッソワド次元に依存する。
• ホルダー歪み推定が証明された：$f$ が $\alpha$-ホルダーであれば、$\dim^{\Phi}_{\mathrm{H}}(f(E)) \leq \alpha \cdot \dim^{\Phi}_{\mathrm{H}}(E)$ が成り立ち、ホルダー写像下での次元のスケーリングの仕組みが明らかになった。
• 質量分布の法則が確立された：測度 $\mu$ がすべての $x$ および十分小さい $r$ に対して $\mu(B(x,r)) \leq C \cdot \Phi(r)^s$ を満たすならば、$\dim^{\Phi}(E) \geq s$ が成り立つ。これは下界を求めるための有効なツールである。
• フロストマン型補題が証明された：任意の $s < \dim^{\Phi}(E)$ に対して、すべての $x$ および十分小さい $r$ に対して $\mu(B(x,r)) \leq C \cdot \Phi(r)^s$ を満たす Borel 測度 $\mu$ が存在する。これにより、測度の構成によって上界を得ることが可能になる。