[論文レビュー] Generalised Pattern Avoidance

Anders Claesson|ArXiv.org|Nov 28, 2000

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 47

ひとこと要約

本稿では、パターン内の隣接する文字が置換においても隣接している必要がある一般化された置換パターンを導入し、古典的なパターン回避を拡張する。長さ3のパターンにおいて、正確に1つの隣接ペアを持つ単一のパターンを回避する置換の完全な列挙を提供し、これらがカタラン数、モーツキン経路、および自己同型写像といった組合せ的構造と関連することを示す。さらに、非重複分割と一対一対応する新しいクラスの分割、すなわち単調分割を導入する。

ABSTRACT

Recently, Babson and Steingrimsson have introduced generalised permutation patterns that allow the requirement that two adjacent letters in a pattern must be adjacent in the permutation. We consider pattern avoidance for such patterns, and give a complete solution for the number of permutations avoiding any single pattern of length three with exactly one adjacent pair of letters. We also give some results for the number of permutations avoiding two different patterns. Relations are exhibited to several well studied combinatorial structures, such as set partitions, Dyck paths, Motzkin paths, and involutions. Furthermore, a new class of set partitions, called monotone partitions, is defined and shown to be in one-to-one correspondence with non-overlapping partitions.

研究の動機と目的

• パターン内の隣接する文字が置換においても隣接している必要がある一般化されたパターンを導入することで、古典的なパターン回避を拡張すること。
• 長さ3の一般化されたパターン（正確に1つの隣接ペアを持つ）を1つだけ回避する置換の列挙を行うこと。
• デイクパス、モーツキンパス、自己同型写像といったよく知られた組合せ的対象とパターン回避置換との間の双対写像を確立すること。
• 単調分割と呼ばれる新しい集合分割のクラスを定義し、非重複分割と一対一対応することを示すこと。

提案手法

• 隣接する文字間にダッシュを挿入することで、線形順序付きのアルファベット上で一般化されたパターンを定義し、置換における隣接性を強制する。
• 最大要素の位置に基づく置換の再帰的分解を用いて、母関数および漸化式を導出する。
• 具体的な写像（例：(a-bc) および (ac-b) を回避する置換からモーツキン経路への写像）を通じて、パターン回避置換と組合せ的構造との間の双対写像を確立する。
• 非シングルトンブロックが最小値および最大値の両方に関して増加順に並べられるように定義される、単調分割を導入する。
• 単調分割との対応関係を用いて、(a-bc) および (ab-c) を回避する置換の数が Bessel数 B*n に等しいことを証明する。
• 既知のデイクパスおよび左から最小値に関する結果を活用し、パターン回避クラス間での統計の等分布を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ n の置換のうち、正確に1つの隣接ペアを持つ長さ3の一般化されたパターンを1つだけ回避するものは何個か？
• RQ2 特定の一般化されたパターンを回避する置換と双対写像をとる組合せ的構造は何か？
• RQ3 非重複分割と双対写像をとる新しい集合分割のクラス、すなわち単調分割を定義し、それが非重複分割と一対一対応することを示せるか？
• RQ4 (b-ac) パターンを回避する置換における左から最小値の分布は何か？また、これはデイクパスとどのように関係するか？
• RQ5 隣接性を要請する一般化されたパターンは、制限付き置換の列挙および構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• ダッシュのない (a-bc) または (a-bc) を回避する長さ n の置換の数は、第 n ベル数 Bn に等しく、[n] の集合分割に対応する。
• (b-ac) を回避する置換の数は、第 n カタラン数 Cn に等しく、長さ 2n のデイクパスに対応する。
• (a-bc) および (ab-c) を両方とも回避する置換の数は、第 n ベッセル数 B*n に等しく、[n] の非重複分割に対応する。
• (a-bc) および (ac-b) を両方とも回避する置換の数は、第 n モーツキン数 Mn に等しく、長さ n のモーツキンパスに対応する。
• (a-bc) および (a-cb) を両方とも回避する置換の数は、対称群 Sn 内の自己同型写像の数 In に等しい。
• 単調分割と呼ばれる新しい集合分割のクラスを定義し、それが非重複分割と一対一対応することを証明した。