[論文レビュー] Generalised representations as q-connections in integral $p$-adic Hodge theory

Matthew Morrow, Takeshi Tsuji|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、完備化体の環 $A_{\text{inf}}$ 上の整数的 $p$-進ホッジ理論において、一般化された表現、$q$-接続、プリズマティックな結晶、$q$-変形されたヒッグス束を統一する枠組みを確立する。プリズマティック $F$-結晶と相対的ブレュイユ–キシン–ファルゲスモジュールのグローバル比較を証明し、$q$-接続のデュドネ理論を構築することで、相対的 $p$-進ホッジ理論における多様な係数系を統合する。

ABSTRACT

We relate various approaches to coefficient systems in relative integral $p$-adic Hodge theory, working in the geometric context over the ring of integers of a perfectoid field. These include small generalised representations over $A_{ ext{inf}}$ inspired by Faltings, modules with q-connection in the sense of q-de Rham cohomology, crystals on the prismatic site of Bhatt--Scholze, and q-deformations of Higgs bundles.

研究の動機と目的

• 相対的整数的 $p$-進ホッジ理論における係数系の異なるアプローチを統一すること。
• $A_{\text{inf}}$ 上の一般化された表現と $q$-接続のための幾何的枠組みを確立すること。
• グローバルな設定においてプリズマティック $F$-結晶と相対的ブレュイユ–キシン–ファルゲスモジュールを比較すること。
• 整数的 $p$-進ホッジ理論の文脈で $q$-接続のデュドネ理論を開発すること。
• プリズマティックな設定において、$q$-変形されたヒッグス束と他の係数系との関係を明確にすること。

提案手法

• バット–シュォルツェのプリズマティック・サイトを用いて、係数対象としての結晶を定義し、研究する。
• $A_{\text{inf}}$ 上の加群における $q$-接続を、古典的接続の一般化として導入する。
• 相対的ブレュイユ–キシン–ファルゲスモジュールの理論を適用し、プリズマティック $F$-結晶と比較する。
• $q$-de Rhamコホロロジーを用いて、$q$-接続を de Rham 構造の変形として解釈する。
• プリズマティック枠組みを用いて、$q$-接続のデュドネ型対応を構築する。
• プリズマティック $F$-結晶と相対的ブレュイユ–キシン–ファルゲスモジュールの間のグローバル比較定理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数的 $p$-進ホッジ理論において、$A_{\text{inf}}$ 上の一般化された表現は $q$-接続とどのように関係するか？
• RQ2 グローバルな設定において、プリズマティックな結晶と相対的ブレュイユ–キシン–ファルゲスモジュールの正確な関係は何か？
• RQ3 プリズマティックな文脈において、$q$-接続のデュドネ理論を構築できるか？
• RQ4 $q$-変形されたヒッグス束は、$p$-進ホッジ理論における係数系の広い枠組みにどのように統合されるか？
• RQ5 $q$-接続は、相対的 $p$-進ホッジ理論における係数系の異なるアプローチをどの程度統合するか？

主な発見

• プリズマティック $F$-結晶と相対的ブレュイユ–キシン–ファルゲスモジュールの間のグローバル比較が確立され、以前の局所的比較を拡張する。
• $q$-接続のデュドネ理論が構築され、$A_{\text{inf}}$ 上の特定の加群を線形代数的データによって分類する。
• $A_{\text{inf}}$ 上の一般化された表現が $q$-接続に対応することが示され、ファルティングスのアプローチと $q$-de Rham コホロロジーが統合される。
• この枠組みにより、$q$-変形されたヒッグス束がプリズマティック圏の対象として実現され、整数的 $p$-進ホッジ理論と結びつけられる。
• この理論は、プリズマティックコホロロジー、$q$-de Rham コホロロジー、および古典的ホッジ理論的構成の間の整合的な橋渡しを提供する。
• 結果として、バット–シュォルツェおよびファルティングスの既知の構成が一般化され統合される。