[論文レビュー] Generalised Sobolev Stable Flux Reconstruction

Will Trojak|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般化されたソボレフ安定フラックス再構成（GSFR）を導入し、従来のOSFRおよびESFR手法を拡張する新しい高次フラックス再構成（FR）スキーム用の対称補正関数族を提案する。この手法は、修正されたソボレフノルムを組み込むことで、時間的安定性の向上と分散の低減を実現する。解析的および数値的検証により、線形および非線形PDE（特にオイラー方程式や渦の輸送問題を含む）において、より高いCFL限界と優れた性能が得られることを示している。

ABSTRACT

A new set of symmetric correction functions is presented for high-order flux reconstruction, that expands upon, while incorporating, all previous correction function sets and opens the possibility for improved performance. By considering FR applied to the linear advection equation, and through modification to the Sobolev norm, criteria are presented for a wider set of correction functions. Legendre polynomials are then used to fulfil these criterion and realise functions for third to fifth order FR. The sufficient conditions for the existence of the modified norms are also explored, before Fourier and Von Neumann analysis are applied to analytically find temporal stability limits for various Runge-Kutta temporal integration schemes. For all cases, correction functions are found that extend the temporal stability of FR. Two application-inspired investigations are performed that aim to explore the effect of aliasing and non-linear equations. In both cases unique correction functions could be found that give good performance, compared to previous FR schemes, while also improving upon the temporal stability limit.

研究の動機と目的

• フラックス再構成（FR）における安定な補正関数の一般化されたフレームワークを構築し、既存のOSFRおよびESFRスキームを越えるものとする。
• エネルギー安定性解析に用いるソボレフノルムを変更することで、FRスキームの時間的安定性を向上させる。
• 線形および非線形PDEの高次シミュレーションにおける数値的分散とアリゼーション誤差を低減する。
• 線形移流およびオイラー方程式を含むベンチマーク問題に対して、新しい補正関数を検証する。
• GSFRが、従来のFR手法と比較して、より高いCFL限界を達成し、渦シミュレーションにおける運動エネルギーの保存をより良く維持できることを示す。

提案手法

• 修正されたソボレフノルムを用いた一般化された補正関数フレームワークを導出し、破損ソボレフ空間におけるエネルギー安定性を保証する。
• 3次から5次までのFRスキームに対して、導出された安定性基準を満たすためにルジャンドル多項式を適用する。
• フーリエ解析およびフォン・ノイマン解析を用いて、さまざまなルンゲ＝クッタスキームの時間的安定性限界を解析的に特定する。
• テンソル積の拡張を用いて、六面体要素を用いた1次元FR定式化を3次元に一般化する。
• 非線形テストケースでは、数値的フラックス計算にRusanovフラックスと特徴速度を用いる。
• アリゼーションと分散の評価のために、非粘性渦（ICV）テストケースと線形非一様PDEを用いて性能を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 OSFRおよびESFRスキームを包含し、それらを改善する一般化された補正関数セットを導出可能か？
• RQ2 エネルギー安定性を保証し、新たな補正関数を可能にするために、ソボレフノルムに必要な修正は何か？
• RQ3 新しいGSFRフレームワークにより、ルンゲ＝クッタスキームの時間的安定性限界（CFL数）が向上するか？
• RQ4 OSFRおよびESFRと比較して、GSFRは線形および非線形PDEにおける分散とアリゼーション誤差をどのように低減するか？
• RQ5 GSFRは、渦の輸送を伴う複雑な非線形問題（例：オイラー方程式）においても安定性と精度を維持できるか？

主な発見

• p = 3の場合、RK44時間積分においてOSFRと比較してGSFRがより高いCFL限界を達成しており、解析的安定性解析により時間的安定性の向上が確認されている。
• 図11の図的集合の結果から、GSFR補正関数はOSFRまたはESFRの集合に含まれないことが確認され、一意的であることが示された。
• ICVテストケースにおいて、GSFRはOSFRと比較して運動エネルギーの減衰が低減しているが、低波数領域ではDGが依然として最も低い分散を示す。
• GSFRスキームは、多項式次数にかかわらず、安定性を維持し、数値的次数の精度（OOA）回復を達成している。
• 分散および分散プロット（図6）により、GSFR補正関数が高波数領域でより低い分散を示すことが明らかとなり、高次シミュレーションにおける性能向上が裏付けられた。
• 線形非一様PDEテストにおいて、GSFRは高いCFL限界と低い誤差を有する安定領域を達成しており、アリゼーション効果に対して高いロバストネスを示した。