[論文レビュー] Generalised Solutions for Fully Nonlinear PDE Systems and Existence Theorems

Nikos Katzourakis|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2015

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 17被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、ジャネット空間のトーリックコンパクト化上のヤング測度を用いた差分商による微分の確率的表現を用いて、完全非線形PDE系の一般化された解の新しい理論を提示する。非退化楕円型2階系について解の存在、一意性、部分的正則性を確立し、古典的分布的および最大値原理的手法を回避して、L∞におけるベクトル値変分法における∞-ラプラシアン系についても解の存在を示している。

ABSTRACT

We introduce a new theory of generalised solutions which applies to fully nonlinear PDE systems of any order and allows for merely measurable maps as solutions. This approach bypasses the standard problems arising by the application of Distributions to PDEs and is not based on either integration by parts or on the maximum principle. Instead, our starting point builds on the probabilistic representation of derivatives via limits of difference quotients in the Young measures over a toric compactification of the space of jets. After developing some basic theory, as a first application we consider the Dirichlet problem and we prove existence-uniqueness-partial regularity of solutions to fully nonlinear degenerate elliptic 2nd order systems and also existence of solutions to the $\infty$-Laplace system of vectorial Calculus of Variations in $L^\infty$.

研究の動機と目的

• 完全非線形PDE系を解く際の分布論および最大値原理の根本的限界を克服すること。
• 解を古典的またはソボレフ型正則性を超えて、単に可測写像として許容する解の枠組みを構築すること。
• 完全非線形PDEの文脈において、非退化楕円型2階系の解の存在および部分的正則性を確立すること。
• 古典的手法が失敗するL∞におけるベクトル値変分法から生じる∞-ラプラシアン系へ理論を拡張すること。
• コンパクト化されたジャネット空間における差分商の確率的極限に基づく、非線形PDEの新たな解析的基盤を提供すること。

提案手法

• 高次非線形性および特異的挙動を取り扱うために、ジャネット空間のトーリックコンパクト化を用いる。
• ヤング測度を用いて微分を差分商の極限として表現し、可測解の取り扱いを可能にする。
• コンパクト化されたジャネット空間における弱収束を通じて微分の確率的表現を構成し、部分積分を回避する。
• 境界条件をコンパクト化構造に埋め込むことで、ディリクレ問題への応用を実現する。
• ヤング測度フレームワークにおける事前推定およびコンパクト性の議論を通じて、存在を確立する。
• L∞設定における変分的および単調性の性質を活用し、∞-ラプラシアン系の構造を用いて存在結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分積分や最大値原理に依存せずに、完全非線形PDE系の一般化された解理論を構築できるか？
• RQ2 確率的手法を用いて、完全非線形PDEの文脈で解を単に可測写像として定義することは可能か？
• RQ3 非退化楕円型2階系の解の存在および部分的正則性を保証する条件は何か？
• RQ4 ベクトル値変分法におけるL∞設定における∞-ラプラシアン系が、新たな一般化枠組みのもとで解を有するか？
• RQ5 ジャネット空間の構造をどのようにコンパクト化すれば、非線形系における微分の確率的表現を支えることができるか？

主な発見

• 任意の次数の完全非線形PDE系に適用可能な、新しい一般化された解理論が構築された。可測解を含む。
• 部分積分や最大値原理への依存を回避することで、古典的分布論の主要な限界を克服した。
• 適切な構造的条件下で、非退化楕円型2階系について一般化解の存在および一意性が確立された。
• 解の部分的正則性が証明され、解が小さな測度の集合を除いて滑らかであることが示された。
• L∞におけるベクトル値変分法における∞-ラプラシアン系について、一般化解の存在が示された。
• フレームワークは、ジャネット空間のトーリックコンパクト化上におけるヤング測度における差分商による微分の確率的表現に基づいている。