[論文レビュー] Generalising the scattered property of subspaces

Bence Csajbók, Giuseppe Marino+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 32被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、有限幾何における散在部分空間の概念を一般化し、h-散在部分空間—r次元Fqn-ベクトル空間のFq-部分空間で、任意のh次元Fqn-部分空間と交わる部分が高々h次元のFq-部分空間であるもの—を導入する。h > 1のとき、h-散在部分空間についてdimFq U ≤ rn/(h+1)の上界を証明し、この上界に達する例を構成し、双対空間における最大h-散在部分空間と最大(n−h−2)-散在部分空間の間に双対性を確立する。本研究は、既知の1-散在部分空間およびMRDコードに関する結果を拡張し、関連する線形集合の超平面との交差数および同値類の完全な特徴付けを提供する。

ABSTRACT

Let $V$ be an $r$-dimensional $\mathbb{F}_{q^n}$-vector space. We call an $\mathbb{F}_q$-subspace $U$ of $V$ $h$-scattered if $U$ meets the $h$-dimensional $\mathbb{F}_{q^n}$-subspaces of $V$ in $\mathbb{F}_q$-subspaces of dimension at most $h$. In 2000 Blokhuis and Lavrauw proved that $\dim_{\mathbb{F}_q} U \leq rn/2$ when $U$ is $1$-scattered. Subspaces attaining this bound have been investigated intensively because of their relations with projective two-weight codes and strongly regular graphs. MRD-codes with a maximum idealiser have also been linked to $rn/2$-dimensional $1$-scattered subspaces and to $n$-dimensional $(r-1)$-scattered subspaces. In this paper we prove the upper bound $rn/(h+1)$ for the dimension of $h$-scattered subspaces, $h>1$, and construct examples with this dimension. We study their intersection numbers with hyperplanes, introduce a duality relation among them, and study the equivalence problem of the corresponding linear sets.

研究の動機と目的

• h > 1に対して、Fqn-ベクトル空間における散在部分空間の概念をh-散在部分空間に一般化すること。
• h-散在部分空間の最大次元を特定すること。
• 理論的次元上界に達するh-散在部分空間の明示的例を構成すること。
• このような部分空間が射影空間における超平面とどのように交わるかを調べること。
• 双対空間における最大h-散在部分空間と最大(n−h−2)-散在部分空間の間の双対性関係を確立すること。
• h-散在部分空間に関連する線形集合の同値問題を調査すること。

提案手法

• h-散在部分空間を、r次元Fqn-ベクトル空間VのFq-部分空間Uとして定義し、任意のh次元Fqn-部分空間がUと交わる部分がFq-部分空間として高々h次元であるものとする。
• h > 1のとき、h-散在部分空間の次元についてdimFq U ≤ rn/(h+1)が成り立ち、等号が成り立つのはUが最大h-散在部分空間である場合に限ることを証明する。
• 超平面がUと次元を指定して交わる(k+1)重の点の組の数を二重数え上げる手法を用い、ガウスの二項係数およびq-級数の恒等式を応用する。
• q-二項定理およびカルリッツのq-二項逆変換公式を用いて、交差サイズの和を操作し、ある線形結合が消えることを証明する。
• V(r, qn)における次元rn/(h+1)の最大h-散在部分空間と、双対空間V(rn/(h+1)−r, qn)における最大(n−h−2)-散在部分空間の間の双対性を確立する。
• PΓL(r, qn)による線形集合の同値性を分析し、h > 1のとき、線形集合の同値性がΓL(r, qn)-同値性と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 h > 1のとき、r次元Fqn-ベクトル空間におけるh-散在部分空間の最大次元は何か？
• RQ2 h-散在部分空間の次元に対する上界rn/(h+1)は達成可能か？もし可能ならば、どのような条件下で達成されるか？
• RQ3 h-散在部分空間はPG(r−1, qn)における超平面とどのように交わるか？これらの交差の次元として可能な値は何か？
• RQ4 双対空間における最大h-散在部分空間と最大(n−h−2)-散在部分空間の間には双対性関係が存在するか？
• RQ5 h-散在部分空間に関連する線形集合がPΓL(r, qn)で同値となる条件は何か？
• RQ6 h-散在部分空間の同値性は、その関連する線形集合の同値性とどのように関係するか？

主な発見

• V(r, qn)におけるh-散在部分空間の最大次元は、上界rn/(h+1)で抑えられ、h+1がrを割り切る場合にこの上界は達成可能である。
• h+1がrを割り切るとき、次元rn/(h+1)の最大h-散在部分空間の例が存在し、Fqn^rにおける特定のFq-線形部分空間を用いて構成される。
• 次元rn/(h+1)の最大h-散在部分空間と任意の超平面の交差次元は、rn/(h+1) − n から rn/(h+1) − n + h の間である。
• V(r, qn)における最大h-散在部分空間と、V(rn/(h+1)−r, qn)における最大(n−h−2)-散在部分空間の間の双対性関係が確立され、h+1がrを割り切らない場合でも構成が可能になる。
• h > 1のとき、2つのh-散在部分空間がPΓL(r, qn)で同値な線形集合を定めるための必要十分条件は、それらがΓL(r, qn)-同値であることである。これは、MRDコードおよび線形集合に関する先行研究を拡張する。
• 証明は、ガウスの二項係数およびq-級数の恒等式を用いた、独創的な二重数え上げに基づくものであり、重要な和Aが消えることにより、目的の次元上界が導かれる。