[論文レビュー] Generalising tractable VCSPs defined by symmetric tournament pair multimorphisms

Vladimir Kolmogorov, Stanislav Živný|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2010

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、部分領域でMJNマルチモーフィズムと補集合でSTP（対称トーナメントペア）マルチモーフィズムを有する言語を扱うハイブリッドマルチモーフィズムフレームワークを導入することで、扱いやすい価値制約充足問題（VCSP）を一般化する。このような問題は、強い3-整合性の強制によってSTPトレーサブルなインスタンスに還元され、既存の部分モジュラー最小化技術を用いて多項式時間で解けることが示された。

ABSTRACT

We study optimisation problems that can be formulated as valued constraint satisfaction problems (VCSP). A problem from VCSP is characterised by a \emph{constraint language}, a fixed set of cost functions taking finite and infinite costs over a finite domain. An instance of the problem is specified by a sum of cost functions from the language and the goal is to minimise the sum. We are interested in \emph{tractable} constraint languages; that is, languages that give rise to VCSP instances solvable in polynomial time. Cohen et al. (AIJ'06) have shown that constraint languages that admit the MJN multimorphism are tractable. Moreover, using a minimisation algorithm for submodular functions, Cohen et al. (TCS'08) have shown that constraint languages that admit an STP (symmetric tournament pair) multimorphism are tractable. We generalise these results by showing that languages admitting the MJN multimorphism on a subdomain and an STP multimorphisms on the complement of the subdomain are tractable. The algorithm is a reduction to the algorithm for languages admitting an STP multimorphism.

研究の動機と目的

• VCSPの既知の tractability 結果を単一のマルチモーフィズム型を超えて拡張すること。
• 混合マルチモーフィズム構造を有するが、依然として tractable な制約言語の広いクラスを同定すること。
• ハイブリッドMJNおよびSTPマルチモーフィズムを有するVCSPインスタンスを解く多項式時間アルゴリズムを提供すること。
• 価値制約充足の文脈において、MJNおよびSTPマルチモーフィズムに関する先行結果を統合・一般化すること。

提案手法

• 入力VCSPインスタンスに対して強い3-整合性を強制することで、構造を単純化する。
• ドメインをMJNマルチモーフィズムが適用可能な部分領域と、STPマルチモーフィズムが適用可能な補集合に分割する。
• 整合性強制後、問題はSTPマルチモーフィズムを有する同値インスタンスに還元される。
• 解の同値性を保つために、変更された単項および二項コスト関数を用いた新しいインスタンスを構築する。
• 還元中にドメイン固有のコスト行動を模倣するために、注意深く選ばれた大きな定数Cを用いる。
• 多様体の多様性とマルチモーフィズムの性質を用いて、変数の割り当て間のハミング距離に関する帰納法により正しさを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 VCSPの tractability 結果は、単一のマルチモーフィズム型を超えて拡張可能か？
• RQ2 MJNおよびSTPマルチモーフィズムを組み合わせることで、多項式時間解法が保たれるか？
• RQ3 混合マルチモーフィズム構造を有する制約言語は、どのように扱いやすい形に還元可能か？
• RQ4 ハイブリッドマルチモーフィズム構造が still tractable なVCSPをもたらすための条件は何か？

主な発見

• 部分領域でMJNマルチモーフィズムを有し、補集合でSTPマルチモーフィズムを有する制約言語は tractable である。
• 提案されたアルゴリズムは、このような問題をSTPマルチモーフィズムを有するインスタンスに還元し、既存の部分モジュラー最小化アルゴリズムの利用を可能にする。
• 強い3-整合性の強制が、STPトレーサブルなインスタンスへの還元を可能にするのに十分である。
• 還元の正しさは、多様体不変性を用いた、割り当て間のハミング距離に関する帰納法により証明される。
• 大きな定数Cを用いた注意深く構築された変換により、解の同値性が保持される。
• この結果は、MJNおよびSTPマルチモーフィズムに関する先行の tractability 結果を一般化し、それらを一つのフレームワークで統合する。