[論文レビュー] Generalization of Algebraic Operations via Enrichment

Christina Vasilakopoulou|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 51被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、普遍的測定対象を用いて、豊かにされた圏論とファイブレーション理論を統合する概念的枠組み「豊かにされたファイブレーション」を通じて、代数的構造を一般化する。モノイドとモジュールの圏は、双対的なコモノイドとコモジュールの圏において自然に豊かにされていることが示され、モノイド圏とコモノイド圏の間の双対性は、モノイド2圏と二重圏的枠組みを用いて一貫的かつ抽象的に形式化される。

ABSTRACT

In this dissertation we examine enrichment relations between categories of dual structure and we sketch an abstract framework where the theory of fibrations and enriched category theory are appropriately united. We initially work in the context of a monoidal category, where we study an enrichment of the category of monoids in the category of comonoids under certain assumptions. This is induced by the existence of the universal measuring comonoid, a notion originally defined by Sweedler in vector spaces. We then consider the fibred category of modules over arbitrary monoids, and we establish its enrichment in the opfibred category of comodules over arbitrary comonoids. This is now exhibited via the existence of the universal measuring comodule, introduced by Batchelor. We then generalize these results to their `many-object' version. In the setting of the bicategory of V-enriched matrices, we investigate an enrichment of V-categories in V-cocategories as well as of V-modules in V-comodules. This part constitutes the core of this treatment, and the theory of fibrations and adjunctions between them plays a central role in the development. The newly constructed categories are described in detail, and they appropriately fit in a picture of duality, enrichment and fibrations as in the previous case. Finally, we introduce the concept of an enriched fibration, aimed to provide a formal description for the above examples. Related work in this direction, though from a different perspective and with dissimilar outcomes, has been realized by Shulman. We also discuss an abstraction of this picture in the environment of double categories, concerning categories of monoids and modules therein.

研究の動機と目的

• 豊かにされた圏論とファイブレーション理論を共通の枠組みで統一すること。
• 普遍的測定対象を介して、代数／モジュールとコアルゲブラ／コモジュールの双対性を一般化すること。
• モノイドの圏がコモノイドの圏において豊かにされていること、およびモジュールがコモジュールにおいて豊かにされていることを、普遍的測定構造を用いて確立すること。
• 観察された代数的構造における双対性と豊かさのパターンを捉える抽象的な豊かにされたファイブレーション理論を構築すること。
• 1圏からV-豊かさおよび2圏的設定へと結果を拡張すること、特にV-行列と二重圏の文脈において。

提案手法

• 豊かにされた圏の基本的道具として、Sweedler (1969) の普遍的測定コモノイドとBatchelor (2000) の普遍的測定コモジュールを用いる。
• ファイブレーションとオプファイブレーションのモデル化に、Grothendieckの構成とインデックス付き圏論を適用する。
• V-豊かさの行列の2圏（Kelly & Laplaza, 1980）において、豊かさを多対象設定に一般化する。
• 豊かにされたファイブレーションの概念を導入し、ベース圏におけるモノイド構造がファイバーにおける豊かさ構造へと持ち上がる仕組みを形式化する。
• モノイド、コモノイド、モジュール、コモジュールの間の相互作用を、二重圏的および2圏的枠組みを用いてモデル化する。
• パラメータ付き随伴とファイブレーション随伴（Lemma 5.3.6およびTheorem 5.3.7を介して）を用い、必要な函手および豊かさの存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイドの圏は、どのようにしてコモノイドの圏において自然に豊かにされるのか？
• RQ2 モジュールがコモジュールにおいて豊かにされるのを可能にする普遍的構造は何か？ そしてそれはどのような代数的文脈においても一般化可能か？
• RQ3 代数／モジュールとコアルゲブラ／コモジュールの双対性は、1つのファイブレーション的かつ豊かにされた圏的枠組み内で形式化可能か？
• RQ4 二重圏または2圏において、モノイドのファイブレーションがコモノイドのファイブレーションにおいて豊かにされるための条件は何か？
• RQ5 普遍的測定コモジュールとコモノイドは、高次元圏論における豊かにされたファイブレーションの一般理論を構築するためにどのように利用可能か？

主な発見

• モノイド圏におけるモノイドの圏は、適切な仮定の下で、普遍的測定コモノイドを介してコモノイドの圏において豊かにされている。
• モノイド上のモジュールのグローバル圏は、普遍的測定コモジュールを介してコモノイド上のコモジュールのグローバル圏において豊かにされている。
• V-行列の2圏において、V-圏はV-ココ圏において豊かにされており、V-モジュールはV-コモジュールにおいて豊かにされている。この豊かさ構造は、普遍的測定対象によって誘導される。
• パラメータ付き随伴が存在するとき、ベース圏上のモノイドのファイブレーションは、コモノイドのモノイドオプファイブレーションにおいて豊かにされている。これはTheorem 8.2.15で形式化されている。
• モジュールのファイブレーションが、普遍的測定コモジュールがモノイド単位を含む整合性条件を満たす場合、モノイド上のコモジュールのファイブレーションにおいて豊かにされている。
• 豊かにされたファイブレーションの抽象的枠組みは、双対性、豊かさ、ファイブレーションを統合する設定を提供し、将来的にはV-オペラッドやV-コオペラッドへの応用が期待される。