[論文レビュー] Generalization of an example of Hartshorne concerning local cohomology

Michael Hellus, Juergen Stueckrad|ArXiv.org|Mar 6, 2007

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$ R = k[[X_1,\dots,X_n]] $（$ n \geq 4 $）、理想 $ I = (X_1,\dots,X_{n-2})R $、および $ (X_{n-1},X_n)R $ 内の素元 $ p $ に対して、局所コホモロジー加群 $ H^{n-2}_I(R/pR) $ がアーティンでないことを示すことで、ハーツホーンの古典的例を高次元に一般化する。証明では、Matlis双対を用いて双対加群が無限個の関連素点を持つことを示し、アーティン加群が要求する有限生成性を満たさないことを示している。

ABSTRACT

We prove the following generalization of an example of Hartshorne: Let k be a field, n=4, R = k[[X1,...,Xn]], I = (X1,...,Xn-2)R and p\in R a prime element such that p\in(Xn-1,Xn)R. Then H^{n-2}_I (R/pR) is not artinian.

研究の動機と目的

• ハーツホーンの非アーティン局所コホモロジー加群の例を高次元に一般化すること。
• 体上の形式的べき級数環に対して、$ H^{n-2}_I(R/pR) $ がアーティンでなくなる条件を特定すること。
• Matlis双対を局所コホモロジー加群の構造を解析し、非アーティン性を検出するための道具として用いること。
• ハーツホーンの例の一般化において、マリーやヴァスィレブの一般化と対比して、局所コホモロジー加群がアーティンでなくなる条件を比較すること。

提案手法

• 局所コホモロジー加群 $ H^{n-2}_I(R/pR) $ に Matlis 双対関手 $ D(-) = \operatorname{Hom}_R(-, E_R(R/\mathfrak{m})) $ を適用し、問題を $ D(H^{n-2}_I(R)) $ の研究に還元する。
• ハーツホーン＝リヒテンバウムの消失定理を用いて、$ H^{n-2}_I(R/p) \neq 0 $ となる条件を特徴づけ、これは $ I + p $ が $ \mathfrak{m} $-原始であるときに限り成立する。
• $ p \in (X_{n-1}, X_n)R $ ならば、$ D(H^{n-2}_I(R)) $ は $ p $ を含む高さ2の関連素点を無限個持つことを示す。
• $ \operatorname{Hom}_R(R/pR, D(H^{n-2}_I(R))) $ が有限生成でないことを確立し、これにより $ H^{n-2}_I(R/pR) $ がアーティンでないことが示される。
• $ I_m = (X_n^l + X_1^m g, X_{n-1} - X_1^m f)R $ を含む高さ2の素点 $ p_m $ の族を構成し、$ D $ に無限個の関連素点が存在することを示す。
• $ D(-) $ の完全性と $ H^{n-2}_I(-) $ の右完全性を活用し、$ D(H^{n-2}_I(R/pR)) $ と $ \operatorname{Hom}_R(R/pR, D(H^{n-2}_I(R))) $ の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ R = k[[X_1,\dots,X_n]] $（$ n \geq 4 $）、$ p \in (X_{n-1},X_n)R $ のとき、$ H^{n-2}_I(R/pR) $ がアーティンでなくなる条件は何か？
• RQ2 Matlis双対は、局所コホモロジー加群の非アーティン性を検出するためにどのように役立つか？
• RQ3 ハーツホーンの例は、類似する非アーティン性を示す高次元形式的べき級数環に一般化可能か？
• RQ4 $ D(H^{n-2}_I(R)) $ の関連素点の数と $ H^{n-2}_I(R/pR) $ のアーティン性の関係は何か？
• RQ5 本論文の条件は、マリーやヴァスィレブによるハーツホーンの例の一般化とどのように対比されるか？

主な発見

• $ n \geq 4 $、$ R = k[[X_1,\dots,X_n]] $、$ I = (X_1,\dots,X_{n-2})R $、および $ (X_{n-1},X_n)R $ 内の素元 $ p $ に対して、$ H^{n-2}_I(R/pR) $ はアーティンでない。
• $ p \in (X_{n-1},X_n)R $ ならば、Matlis双対 $ D(H^{n-2}_I(R)) $ はすべて $ p $ を含む高さ2の関連素点を無限個持つ。
• $ \operatorname{Hom}_R(R/pR, D(H^{n-2}_I(R))) $ は有限生成でないため、$ H^{n-2}_I(R/pR) $ はアーティンでないことが示される。
• $ \operatorname{Supp}_R(H^{n-2}_I(R/pR)) \subseteq \{\mathfrak{m}\} $ という補題条件を満たすが、そのソクルは有限生成でないため、アーティン基準を満たさない。
• 構成により、$ p_m \in \operatorname{Ass}_R(D(H^{n-2}_I(R))) $ である高さ2の異なる素点が無限個得られ、関連素点が無限個あることが証明される。
• $ k $ が有限であっても、$ I_m $ の構成における $ m \in \mathbb{N}^+ $ の変動により、無限個の関連素点が得られるため、結果は成り立つ。