[論文レビュー] Generalization of connections on Lie algebroids and derivation-based non-commutative geometry

Serge Lazzarini, Thierry Masson|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、微分的計算を用いて接続および曲率形式を形式化することで、可換でない幾何学に基づく微分的計算を用いた、可換でない幾何学的構造との深い構造的類似性を明らかにする。

ABSTRACT

In this paper we study some generalized notions of connections on transitive Lie algebroids from an algebraic point of view. Differential cal- culi are introduced to manage connections 1-forms and curvature 2-forms. Two examples are studied in details: the Atiyah Lie algebroid of a principal fiber bundle and the space of derivations of the algebra of endomorphisms of a SL(n)-vector bundle. Using these two examples we show that the notion of generalized connections studied here is strongly related to the notion of connections on the derivation-based non-commutative geometry of this alge- bra of endomorphisms. As such, relative to ordinary connections, generalized connections on an Atiyah Lie algebroid is the same kind of generalization as (derivation-based) non-commutative connections.

研究の動機と目的

• 代数的微分的計算を用いて、古典的設定を超えたトランスミティブなリー代数の接続の概念を拡張すること。
• リー代数上の微分的計算を用いて、接続1形式および曲率2形式の形式的枠組みを確立すること。
• 自己準同型代数の文脈において、一般化された接続と導分に基づく非可換幾何学の関係を調査すること。
• アティヤ代数の接続の一般化が、非可換接続で観察される一般化と一致することを示すこと。

提案手法

• 論文は、リー代数上の微分的計算を用いて、代数的に接続1形式および曲率2形式を定義・操作する。
• 一般化された接続構造を説明するための主要な例として、主バンドルのアティヤリー代数を分析する。
• SL(n)-ベクトルバンドルの自己準同型代数の導分の空間を研究し、一般化形式と非可換幾何学を結びつける。
• 導分の代数的構造を用いて、アティヤ代数上の一般化された接続が、正確に導分に基づく非可換接続に対応することを示す。
• リー代数の構造と微分的計算の相互作用に依拠して、曲率および接続形式の一般化を実現する。
• 自己準同型代数を通じて、主バンドル上の古典的接続と非可換接続の間のカテゴリカルかつ代数的対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トランスミティブなリー代数の接続は、代数的微分的計算を用いてどのように一般化できるか？
• RQ2 アティヤ代数上の一般化された接続と導分に基づく非可換接続の正確な関係は何か？
• RQ3 この一般化された枠組みにおける曲率形式および接続形式は、古典的微分幾何学的概念をどの程度反映しているか？
• RQ4 SL(n)-ベクトルバンドルの自己準同型代数の導分代数は、一般化された幾何的構造をどのように符号化するか？
• RQ5 この一般化は、どのようにして古典的および非可換微分幾何学を統一するのか？

主な発見

• トランスミティブなリー代数の一般化された接続は、微分的計算を用いて形式化され、接続1形式および曲率2形式の体系的取り扱いが可能になる。
• 主バンドルのアティヤリー代数は、一般化された接続が古典的意味での通常の接続に対応する自然な設定を提供する。
• SL(n)-ベクトルバンドルの自己準同型代数の導分空間は、非可換幾何的構造を実現し、一般化された接続が導分に基づく非可換接続と一致する。
• 代数的枠組みは、アティヤ代数上の接続の一般化が、導分に基づく非可換幾何学における一般化と構造的に同型であることを明らかにする。
• リー代数および自己準同型代数幾何の観点を通じて、古典的接続と非可換接続の間の概念的かつ構造的類似性を確立する。