[論文レビュー] Generalization of Cox functor

Isamu Iwanari|arXiv (Cornell University)|May 1, 2007

Advanced Topics in Algebra被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異なファンの場合に古典的Cox関手が機能しない問題を解決するため、(∆, ∆₀)-集合をスキームに導入することで、Coxの特異的でない場合の特異的でないファンの構成を、特異的でない場合に一般化し、特異的でないファンの構成を特異的でないファンの構成に一般化する。主な結果は、この一般化された関手がスタック的ファン(∆, ∆₀)に関連する特異的でないスタックを表現することである。

ABSTRACT

In [1], given a fan ∆ and a scheme Y, Cox defines notions of ∆-collections on Y and equivalences between them. Then he showed that the functor F ∆ : Y ↦ → {∆-collections on Y} / ∼ represents the toric variety X ∆ if ∆ is non-singular (we shall call F ∆ Cox functor). This successfully generalizes Grothendieck’s definition of a projective space P n, and it is closely related to the quotient presentation. As mentioned in [1, page 261], unfortunately, if ∆ is singular the functor F ∆ fails to represent the toric variety X∆, and it was proposed to consider the general case. The purpose of this short note is to generalize the notion of Cox functor. If one work not in classical toric geometry but in toric stacks ([4], [5]), one has a natural generalization of the main result of [1]. We refer to [5] for basic definitions concerning toric stacks and stacky fans. Set N = Z d and M = HomZ(N, Z). Let 〈•, • 〉 be the dual pairing. Let ( ∆ ⊂ N ⊗Z R, ∆ 0) be a stacky fan and Y a scheme. Denote by ∆(1) the set of rays. Denote by nρ the generator of ∆ 0 on ρ (cf. [5, section 2]). Finally, let ∆max denote the set of maximal cones in ∆. Definition 1.1. A (∆, ∆ 0)-collection on Y is a triple ({Lρ}ρ∈∆(1), {uρ}ρ∈∆(1), {cm: ⊗ρL ⊗〈m,nρ〉 ρ

研究の動機と目的

• 特異的でないファンの場合にCoxの特異的でないファンの構成を特異的でないファンの場合に一般化すること。
• ∆が特異的である場合に、古典的Cox関手がX∆を表現できない問題を解消すること。
• スタック的ファンと(∆, ∆₀)-集合を用いて、Cox関手の自然な一般化を定義すること。
• 一般化された関手がスタック的ファン(∆, ∆₀)に関連する特異的でないスタックを表現することを確立すること。

提案手法

• スキームY上の(∆, ∆₀)-集合の概念を導入し、ラインバンドル{Lρ}ρ∈∆(1)、切断{uρ}ρ∈∆(1)、およびm ∈ Mに対応する写像cmを含む。
• レイの生成子nρと∆₀からのデータを用いて、スタック的ファン(∆ ⊂ N ⊗Z R, ∆₀)の構造を定義する。
• M × N上の双対ペアリング〈·, ·〉を用いて、〈m, nρ〉によるラインバンドルのテンソル積の冪を定義する。
• 古典的Cox関手を一般化する関手F∆,∆₀: Y ↦ → { (∆, ∆₀)-集合 on Y } / ∼を構成する。
• 特に、[5]における特異的でないスタックの基礎的定義、特に∆₀がレイにおけるスタック的構造を符号化する役割を用いる。
• この関手がスタック的ファン(∆, ∆₀)に関連する特異的でないスタックを表現することを示す。古典的結果の特異的でないファンへの一般化である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的Cox関手を特異的でない特異的でない多様体を扱えるように一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 関手的構成によって特異的でないスタックを表現するにはどのような構造が必要か？
• RQ3 スタック的ファン(∆, ∆₀)は、スキーム上の∆-集合の概念をどのように自然に拡張するか？
• RQ4 スタック的データ∆₀は、一般化されたCox関手を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 一般化された関手は特異的でない場合でも、関連する特異的でないスタックを表現し続けるか？

主な発見

• 一般化された関手F∆,∆₀: Y ↦ → { (∆, ∆₀)-集合 on Y } / ∼は、スタック的ファン(∆, ∆₀)に関連する特異的でないスタックを表現する。
• この構成は、元の関手がX∆を表現できない特異的でないファンの場合に、古典的Cox関手を特異的でない場合にまで拡張するのに成功している。
• スタック的データ∆₀の使用により、ファンのレイにおけるスタック的構造を符号化する明確な一般化が可能である。
• 関手はラインバンドル{Lρ}、切断{uρ}、および写像cm: ⊗ρ Lρ⊗〈m,nρ〉 → OYにより定義され、整合的な系を形成する。
• この表現は、特異的でないスタックの文脈で成り立ち、グロタンディークの射影空間構成の一般化である。
• この結果により、∆が特異的であっても成り立つ、特異的でないスタックの関手的枠組みが確立される。