[論文レビュー] Generalization of Klain's Theorem to Minkowski Symmetrization of compact sets and related topics

Jacopo Ulivelli|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Point processes and geometric inequalities参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Klainの収束定理を、R^n 内のコンパクト集合に対するミンコフスキー対称化およびファイバー対称化へ一般化し、有限個の部分空間に関する対称化列が対称な極限に収束することを証明する。主な貢献は、境界条件が弱い場合でも収束性および冪等性の性質を確立することであり、これは凸体から一般コンパクト集合への結果の拡張である。

ABSTRACT

We shall prove a convergence result relative to sequences of Minkowski symmetrals of general compact sets. In particular, we investigate the case when this process is induced by sequences of subspaces whose elements belong to a finite family, following the path marked by Klain in [13], and the generalizations in [4] and [2]. We prove an analogue result for Fiber symmetrization of a specific class of compact sets. The idempotency for symmetrization of this family of sets is investigated, leading to a simple generalization of a result from Klartag [14] regarding the approximation of a ball through a finite number of symmetrizations, and generalizing an approximation result in [9]

研究の動機と目的

• 一般コンパクト集合に対する反復的ミンコフスキーおよびファイバー対称化の収束を調査し、既知の凸体に対する結果を拡張する。
• 凸体とは異なり、コンパクト集合の設定では冪等性および対称性の性質が成立しない病理的状況に対処する。
• 非凸コンパクト集合から出発する対称化列が、凸かつ対称な極限に収束する条件を確立する。
• Klartagによる球の有限対称化による近似結果を、境界正則性条件の下で一般コンパクト集合クラスへ一般化する。
• 境界を介したコンパクト集合のミンコフスキー加法の振る舞いを特徴づけ、特に対称化の冪等性との関係を明らかにする。

提案手法

• 等長変換の平均と比較することで、コンパクト集合の対称化解析を凸の場合に還元する。
• ミンコフスキー対称化が恒等写像と反射写像の平均であるという事実を用い、凸集合からコンパクト集合への収束性の転送を可能にする。
• ファイバー対称化が凸性を保つための条件 ∂conv(C) ⊆ C を導入し、凸の場合の結果を用いた収束性の確立を可能にする。
• 連結境界および包含関係の仮定の下で、K + L = ∂K + ∂L が成り立つことを証明し、これにより冪等性の結果が裏付けられる。
• 境界和の等式に関する定理1.4を適用し、MHK = MH∂K を示し、次に非超平面部分空間に対するファイバー対称化へ拡張する。
• 既知の凸体に対する収束定理（例：Klain, Bianchiら）を conv(C) に適用し、∂conv(C) ⊆ C を満たす C に対して収束性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般コンパクト集合に対して、有限個の部分空間に関するミンコフスキー対称化列が収束する条件は何か？
• RQ2 凸体に対する対称化列の収束性は、その凸包の境界を含むコンパクト集合に対しても拡張可能か？
• RQ3 両方の境界が連結である場合、2つのコンパクト集合のミンコフスキー和とその境界の和との関係は何か？
• RQ4 ∂conv(C) ⊆ C を満たすコンパクト集合 C に対するファイバー対称化列は収束するか？また、その極限は conv(C) のファイバー対称化に等しいか？
• RQ5 コンパクト集合の設定において、対称化プロセスが凸性または冪等性をどの程度保つのか？

主な発見

• 任意のコンパクト集合 C ∈ C^n で、conv(C) = K かつ ∂conv(C) ⊆ C を満たすものに対して、有限個の部分空間に関するミンコフスキー対称化列は、K に対して収束する場合に限り、K と同じ極限に収束する。
• コンパクト集合 K が ∂conv(K) ⊆ K を満たす場合、次元 ≤ n−2 の有限個の部分空間に関するそのファイバー対称化列は、凸な極限に収束し、それは conv(K) のファイバー対称化に等しい。
• コンパクト集合 K が連結境界を持ち、K の任意の平行移動が他の集合の反射に真に含まれない場合、ミンコフスキー対称化は K の境界にのみ依存する。具体的には、MHK = MH∂K が成り立つ。
• 次元 ≤ n−2 の部分空間に対するファイバー対称化において、∂conv(C) ⊆ C を満たすコンパクト集合 C の対称化は凸であり、conv(C) の対称化に等しい。ただし、部分空間が超平面でない場合に限る。
• Klartagによる球の有限ミンコフスキー対称化による近似結果を、∂conv(K) ⊆ K を満たすコンパクト集合 K へ一般化し、O(log 1/ε) 回の対称化で (1−ε)w(K)B^n ⊂ ˜K ⊂ (1+ε)w(K)B^n が成り立つことを示した。
• 連結境界および平行移動における真包含がない条件のもとで、コンパクト集合 K, L に対して K + L = ∂K + ∂L が成り立つ。これは、冪等性および収束性の証明の鍵となる道具である。