[論文レビュー] Generalization of regular solutions of Einstein's gravity equations and Maxwell's equations for point-like charge

Yi-Shi Duan|arXiv (Cornell University)|May 19, 2017

Geophysics and Gravity Measurements被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、点電荷に対するアインシュタインの重力理論とマクスウェル方程式の正則解を一般化し、$ r=0 $ における正則性と有界性を保証する任意関数 $ f(r) $ を導入する。全質量が有限であり、電荷に比例しており、古典的電子半径 $ r_0 = e^2/(mc^2) $ が自然に出現することを示している。特異性を回避する中で、重力的および電磁気的寄与が統合される。

ABSTRACT

In the Born, Infeld, Bopp, Podolsky and Dirac theories the electron mass is finite (or zero), but gravity effects have not been considered. Shirokov and Fisher showed that in studying of origin of elemental particle masses we can not neglect these effects. Gravity field plays an essential role in interpretation of particle mass. It has been shown that for point-like charge the general solution of gravity and electromagnetic (EM) equations that contains arbitrary function $μ(r)$, can in special case of this function, describe gravity and EM fields that do not have singularities in full range of $r$ from $0$ to $\infty$. In this paper we are trying to find more general solution.

研究の動機と目的

• 特定のケースにとどまらない、点電荷に対するアインシュタインの重力理論およびマクスウェル方程式の正則解を一般化すること。
• 計量および物理的量が $ r=0 $ で有限かつ特異性のないままであることを保証し、曲率および場の特異性の問題を解決すること。
• 重力的および電磁気的寄与の和として、粒子の全質量の有限かつ自己整合的な表現を導出すること。
• 任意関数 $ f(r) $ が $ r=0 $ で特定の境界条件を満たす場合、理論から古典的電子半径 $ r_0 = e^2/(mc^2) $ が自然に出現することを示すこと。

提案手法

• 計量成分の正則性を保証するため、$ \mu = -2\ln f(r) $ を用いて任意で特異性のない関数 $ f(r) $ を導入する。
• $ f(r) $ 及びその微分 $ f'(r) $ を用いて計量成分 $ g_{11}, g_{22}, g_{33}, g_{44} $ を導出し、$ r=0 $ での有界性を保証する。
• 電磁場のエネルギー運動量テンソル $ T^i_k $ と重力的エネルギー運動量擬テンソルを用い、統合により全質量を計算する。
• $ r=0 $ における境界条件 $ f(0)=0 $, $ f'(0)=\alpha \neq 0 $, $ f''(0)=\beta \neq 0 $ を適用し、計量成分の正則性を保証する。
• 質量積分 $ m = 2\int \sqrt{-g} T^4_4 \, d\tau $ を評価し、$ m = 4\pi \varepsilon^2 \alpha $ を得る。ここで $ \alpha $ は古典的電子半径に関連する。
• 境界条件 $ \alpha = 1/r_0 $ を満たす場合、古典的電子半径 $ r_0 = e^2/(mc^2) $ が自然に理論から出現することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点電荷に対するアインシュタイン方程式およびマクスウェル方程式の一般クラスの正則解を、$ r=0 $ で特異性が生じない形で構築できるか？
• RQ2 任意関数 $ f(r) $ の導入が、計量および物理的場の有界性と正則性にどのように影響するか？
• RQ3 系の全質量は何か？ 重力的および電磁気的寄与の合算としてどのように構成されるか？
• RQ4 適切な $ f(r) $ の境界条件を満たす場合、古典的電子半径が理論から自然に出現するか？
• RQ5 電荷が点状である場合でも、手動で質量の再正規化を必要とせず、質量が有限かつ非ゼロのまま保たれるか？

主な発見

• $ f(r) $ が $ f(0)=0 $, $ f'(0)=\alpha \neq 0 $, $ f''(0)=\beta \neq 0 $ を満たす場合、計量成分は $ r=0 $ で有限かつ特異性のないままであり、正則な時空幾何を保証する。
• 粒子の全質量は有限であり、$ m = 4\pi \varepsilon^2 \alpha $ で与えられ、$ \alpha $ は $ f(r) $ の原点近傍における振る舞いによって定まる。
• 境界条件 $ \alpha = 1/r_0 $ を満たす場合、古典的電子半径 $ r_0 = e^2/(mc^2) $ が自然に理論から出現し、理論的枠組みと実験的粒子パラメータが結びつく。
• エネルギー運動量テンソルおよび計量成分が $ f(r) $ の関数として明示的に表現されており、境界条件を満たす任意の滑らかで特異性のない $ f(r) $ に対して理論が正則のままであることが示されている。
• 質量が重力的および電磁気的場の寄与の和として示され、追加の質量項や再正規化の必要がない。
• アインシュタインおよびシロコフの以前の結果を一般化し、$ f(r) $ のより広い関数クラスに拡張しながら、有界性および正則性を維持する。