[論文レビュー] Generalization of Schnyder woods to orientable surfaces and applications

Benjamin Lévêque|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、平面的マップから可定向な曲面（特にトーラス）へのシュナイダーツールドの一般化を、角度ラベルリングと向きの導入によって行い、組合せ的構造を拡張する。表面ホモロジーに基づいてシュナイダーツールドの向きを分配的ラティスに分割し、トーラスの場合に特別な「交差する」および「バランスの取れた」シュナイダーツールドの存在を証明することで、平坦トーラス上での最適な符号化と直線グラフ描画を可能にする。

ABSTRACT

Schnyder woods are particularly elegant combinatorial structures with numerous applications concerning planar triangulations and more generally 3-connected planar maps. We propose a simple generalization of Schnyder woods from the plane to maps on orientable surfaces of any genus with a special emphasis on the toroidal case. We provide a natural partition of the set of Schnyder woods of a given map into distributive lattices depending on the surface homology. In the toroidal case we show the existence of particular Schnyder woods with some global properties that are useful for optimal encoding or graph drawing purpose.

研究の動機と目的

• 平面の三角形分割に定義されたシュナイダーツールドを、任意の genus の可定向な曲面上のマップへと拡張すること。特にトーラスに注目する。
• 角度ラベルリングを用いてシュナイダーツールドの向きを特徴づけ、表面のホモロジー類との関係を確立すること。
• グラフ描画および符号化への応用を目的として、トーラスの場合にグローバルな性質（例：交差、バランス）を持つ特別なシュナイダーツールドの存在を証明すること。
• 平面の場合の三角形分割と一細胞マップの間の双対性を、トーラスの場合へ一般化すること。
• トーラス三角形分割において、交差するか最小のバランスの取れたシュナイダーツールドを計算する線形時間アルゴリズムの開発

提案手法

• 可定向な曲面上に埋め込まれたマップに対して、角度ラベルリングを用いてシュナイダーツールドを一般化し、特定の辺の向きとそのラベルリングの対応を定義する。
• ホモロジー理論を用いて、非可縮小サイクルのホモロジー類に基づいてシュナイダーツールドの向きの集合を分配的ラティスに分割する。
• トーラスの場合の単色サイクルとその交差を分析することで、「交差する」シュナイダーツールドの概念を導入する。
• 一意な最小元を保証する標準的ラティス構造を用いて「バランスの取れた」シュナイダーツールドを定義する。これは双対性に有用である。
• ポワラソンとシャエッファーの符号化法を適用し、トーラス三角形分割と根付き一細胞マップの間の双対性を確立する。
• 普遍被覆における周期的測地線埋め込みを用いて、多項式サイズのグリッド上に直線的平坦トーラス表現を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての本質的に 3-連結なトーラス的マップはシュナイダーツールドをもつのか？ もしそうなら、どのような条件下で？
• RQ2 トーラス上でのシュナイダーツールドに対して、「交差する」や「バランスの取れた」といったグローバルな性質を定義可能か？ それらの性質はホモロジーとどのように関係するか？
• RQ3 平面の場合と同様に、トーラス三角形分割とある種の単一細胞マップの間の双対性は存在するか？
• RQ4 トーラス三角形分割において、交差するか最小のバランスの取れたシュナイダーツールドを計算する線形時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ5 トーラス上でのシュナイダーツールドの構造的性質は、高 genus の曲面へどのように一般化できるか？ また、その存在に障害となる要因は何か？

主な発見

• トーラス的マップがシュナイダーツールドをもつための必要十分条件は、本質的に 3-連結であることである。これは既知の平面的条件を高 genus へ拡張するものである。
• 与えられたマップのシュナイダーツールドの向きの集合は、ホモロジー類によってインデックス付けされた分配的ラティスに自然に分割され、以前の結果を一般化する。
• トーラス三角形分割に対して、交差するシュナイダーツールドまたは最小のバランスの取れたシュナイダーツールドを線形時間で計算するアルゴリズムが存在する。
• トーラス三角形分割と根付き一細胞マップの間の双対性が確立され、平面のポワラソン–シャエッファー双対性を一般化する。
• 本質的に 3-連結な任意のトーラス的マップに対して、普遍被覆における測地線埋め込みを用いて、多項式サイズのグリッド上に直線的平坦トーラス表現を構成可能である。
• トーラス上でのバランスの取れたシュナイダーツールドの存在により、ラティスに標準的な最小元が存在し、これによりトーラス三角形分割の最適な符号化と一様なランダム生成が可能になる。