[論文レビュー] Generalization of Selberg's 3/16 Theorem and Affine Sieve

Jean Bourgain, Alex Gamburd+1 more|ArXiv.org|Dec 26, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、SL₂(ℤ) の無限位数の合同部分群に Selberg の 3/16 定理を一般化し、関連する双曲的面上のラプラス＝ベルトラミー作用素に対して一様なスペクトルギャップを確立する。この結果をアーキメデス的ノルムを用いたアフィン線形のふnowに応用し、ザリスキ―・dürreな部分群の軌道における格子点の数え上げにおいて鋭い誤差項を得る。これにより、多項式列に対するふnowの最良の境界が得られる。

ABSTRACT

A celebrated theorem of Selberg states that for congruence subgroups of SL(2,Z) there are no exceptional eigenvalues below 3/16. We prove a generalization of Selberg's theorem for infinite index "congruence" subgroups of SL(2,Z). Consequently we obtain sharp upper bounds in the affine linear sieve, where in contrast to \cite{BGS} we use an archimedean norm to order the elements.

研究の動機と目的

• SL₂(ℤ) の有限生成かつ非自明な部分群 Λ に対して、その極限集合のハウスドルフ次元 δ(Λ) が 1/2 より大きい場合に、Selberg の 3/16 定理におけるスペクトルギャップを拡張すること。
• このような部分群の合同部分群 Λ(q) に対して一様なスペクトルギャップを確立し、ある ε > 0 に対して λ₁(Λ(q)) ≥ λ₀(Λ(q)) + ε が成り立つこと。
• ハウスドルフ次元 ≤ 1/2 の部分群に対して、双曲的面上のラプラシアンのリゾルベントの共振なし領域を示し、スペクトルギャップを L² でないスペクトルへ拡張すること。
• スペクトル結果をアーキメデス的ノルムを用いたアフィン線形のふnowに応用し、ザリスキ―・dürreな部分群の軌道における多項式方程式の解の数え上げに対する鋭い誤差項を導出すること。
• このような軌道上で定義される多項式ノルムの列に対して、組合せ的ふnowの公理（レベル分布、乗法的関数の性質、ふnow次元）を検証すること。

提案手法

• 双曲的面上の Lax-Phillips 理論とスペクトル理論を用い、スペクトルギャップと極限集合のハウスドルフ次元 δ(Λ) の関係を確立する。
• L²-フラットネス補題と力学的技法を用いて測度の畳み込みを制御し、δ ≤ 1/2 の場合のリゾルベントの共振なし領域の証明を可能にする。
• Fell の誘導の連続性を用いて、スペクトルギャップとカイリー・グラフにおける拡散の同値性を確立する。
• 強い近似と Goursat の補題を用いて法 d での還元を分析し、平方自由な d に対して Λ → Λ_d が全射であることを保証する。
• Lang-Weil の定理を応用して、f(γ) ≡ 0 mod d を満たす解の数を推定し、β(d) = |Λ_d^f| / |Λ_d| が β(p) = t(f)/p + O(p^{-3/2}) の漸近的挙動を示す。
• スペクトルギャップおよび定理 1.3 と定理 1.5 の誤差項を用いて、算術的等差数列に関する和の剰余項を抑え、ふnowの公理 (A₀), (A₁), (A₂) を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Selberg の 3/16 定理におけるスペクトルギャップは、SL₂(ℤ) の無限位数の合同部分群 Λ で δ(Λ) > 1/2 を満たすものに拡張可能か？
• RQ2 平方自由な q に対して、一様に λ₁(Λ(q)) ≥ λ₀(Λ(q)) + ε が成り立つスペクトルギャップが保たれるか？
• RQ3 ハウスドルフ次元 δ(Λ) ≤ 1/2 の部分群に対して、リゾルベント R_X(q)(s) が Re(s) = δ よりも外側まで共振なし領域を有するか？
• RQ4 無限体積の双曲的面上のスペクトルデータを用いて、アーキメデス的ノルムを用いたアフィン線形のふnowを実行可能か？
• RQ5 ザリスキ―・dürreな部分群の軌道における多項式ノルムの数え上げ関数は、最良の誤差項を伴って組合せ的ふnowの公理を満たすか？

主な発見

• SL₂(ℤ) の有限生成部分群 Λ で δ(Λ) > 1/2 を満たすものに対して、ある ε(Λ) > 0 が存在し、すべての平方自由な q ≥ 1 に対して λ₁(Λ(q)) ≥ λ₀(Λ(q)) + ε が成り立つ。
• |γ| ≤ T かつ γ ≡ g mod q を満たす γ ∈ Λ の数え上げ関数は、|{γ ∈ Λ : |γ| ≤ T, γ ≡ g mod q}| = c_Λ T^{2δ} / |SL₂(q)| + O(q³ T^{2δ - ε₁}) と表され、ある ε₁ > 0 が Λ に依存して存在する。
• δ(Λ) ≤ 1/2 の場合、リゾルベント R_X(q)(s) は Re(s) > δ - ε min(1, 1/log(1 + |Im s|)) で正則であり、s = δ に単一極を持つ。
• アフィンふnowにおける誤差項 a_n(T) = # {γ ∈ Λ : |γ| ≤ T, |f(γ)| = n} は、O(X^{1 - 1/(2δ log log X)} + d^{C+2} X^{1 - ε₁/(2δ)}) で抑えられ、X = ∑ a_n(T) である。
• 列 a_n(T) のふnow次元 t(f) は f の既約因子の個数に等しく、最良のレベル分布 D ≤ X^τ（τ < 2δ / ((C+3)ε₁)）を伴って、ふnow公理 (A₀), (A₁), (A₂) が満たされる。
• 組合せ的ふnowにより、S(A, P_z) ≍ X / (log X)^t が成り立ち、z = D^{1/s} かつ s > 9t である。これにより、アーキメデス的ノルムを用いたアフィンふnow設定における最良の上界と下界が確認される。