[論文レビュー] Generalization of Zak's phase for lattice models with non-centered inversion symmetry axis

A. M. Marques, R. G. Dias|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Random Matrices and Applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、単位格子内に中心にない軸を持つ反転対称性を有する1次元格子模型に対してZak位相を一般化する。標準的なZak位相は、反転演算子のk依存性を持つ行列要素のため、量子化が失われるが、k依存性を持つ補正項を組み込むことでπ-量子化された値を回復する修正式を提案する。これにより、非中心の反転対称性を持つ系におけるトポロジカルな不変量が可能になる。

ABSTRACT

We show how the presence of inversion symmetry in a one-dimensional (1D) lattice model is not a sufficient condition for a quantized Zak's phase. This is only the case when the inversion axis is at the center of the unit cell. When the inversion axis is not at the center, the modified inversion operator within the unit cell gains a k-dependence in some of its matrix elements which adds a correction term to the usual Zak's phase expression1, making it in general deviate from its quantized value. A general expression that recovers a quantized Zak's phase in a lattice model with a unit cell of arbitrary size and arbitrarily positioned inversion axis is provided in this paper, which relates the quantized value with the eigenvalues of a modified parity operator at the inversion invariant momenta.

研究の動機と目的

• 反転対称性は存在するが単位格子内に中心にない場合に、標準的なZak位相が量子化されなくなる問題に対処すること。
• 非量子化の原因が、単位格子レベルの反転演算子におけるk依存性行列要素に起因することを特定すること。
• 任意の単位格子サイズおよび反転軸位置に対して有効な一般化された量子化済みZak位相の式を導出すること。
• 反転対称的モーメンタムにおける修正されたパリティ演算子を確立し、正しい量子化済みZak位相を予測すること。
• 中心にない反転対称性を有する1次元系、特に準1次元系やリブ系に適用可能な強固なトポロジカル不変量を提供すること。

提案手法

• 反転軸が非中心にある場合に、単位格子内での修正された反転演算子を導出し、そのk依存性を示すこと。
• 修正された反転演算子の非ヒルベルト的かつk依存性の性質から、Zak位相式における補正項が生じることを同定すること。
• ウィルソンループ形式を用いてZak位相を表現し、k空間全域における反転演算子の非ユニタリな時間発展から補正項を導出すること。
• k = 0およびk = πにおける修正されたパリティ演算子を導入し、その固有値が補正済みZak位相を決定すること。
• 修正済みZak位相をモデル系（SSH、t₁t₁t₂t₂、t₁t₁t₁t₂）に適用し、エッジ状態の物理的性質およびWannier中心の計算と整合性を確認すること。
• 同じ単位格子内における異なる反転軸選択の間の位相差が正確にπであることを示し、トポロジカル遷移と整合することを確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元格子模型に反転対称性が存在するが、その反転軸が単位格子内に中心にない場合に、標準的なZak位相がなぜ量子化されなくなるのか。
• RQ2 単位格子レベルの反転演算子におけるk依存性が、Zak位相およびその量子化にどのように影響を与えるか。
• RQ3 反転軸が単位格子内に中心にない場合に、Zak位相に追加すべき補正項は何か。
• RQ4 反転対称的モーメンタムにおける修正されたパリティ演算子は、このような系における正しいトポロジカル不変量を予測するためにどのように利用できるか。
• RQ5 一般化されたZak位相は、中心にない反転対称性を有する準1次元系やリブ系に適用可能か。

主な発見

• 反転軸が単位格子内に中心にない場合、反転演算子のk依存性行列要素のため、標準的なZak位相は量子化されない。
• Zak位相にk空間上での|u_j,A(k)|²の積分に比例する補正項を加えることで、π-量子化を回復できる。
• 補正済みZak位相˜γ_jは、反転軸の位置に関係なく量子化され、トポロジカル不変量として機能する。
• 任意の単位格子内に中心の反転軸を持たないt₁t₁t₂t₂モデルのような系では、一般化されたZak位相がトポロジカル特徴付けに不可欠である。
• 同じ単位格子内における2つの反転軸選択の間の位相差は正確にπであり、トポロジカル遷移と整合的である。
• 数値的検証により、補正済みZak位相がπ分位相シフトする際にエッジ状態が正確に出現することが確認され、修正されたパリティ固有値の予測と一致する。