[論文レビュー] Generalizations of a result of Jarnik on simultaneous approximation

Johannes Schleischitz|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Jarníkの古典的結果を、$(\zeta, \zeta^2, \ldots, \zeta^k)$ の形のベクトルへの同時ディオファントス近似に一般化し、近似誤差 $\|q\zeta^j - p_j\|$ が無限に多くの $q$ に対して関数 $\Psi(q) = o(q^{-1})$ で有界であるが、$c < 1$ の任意の $c\Psi(q)$ では有界でないような実数 $\zeta$ の存在を確立する。構成法は連分数を用いたブロック法であり、カントール集合のようなフラクタル集合に対しても適用可能で、最適な近似閾値を持つ非可算個の such $\zeta$ を得る。

ABSTRACT

Consider a non-increasing function $Ψ$ from the positive reals to the positive reals with decay $o(1/x)$ as $x$ tends to infinity. Jarnik proved in 1930 that there exist real numbers $ζ_{1},...,ζ_{k}$ together with $1$ linearly independent over $\mathbb{Q}$ with the property that all $qζ_{j}$ have distance to the nearest integer smaller than $Ψ(q)$ for infinitely many positive integers $q$, but not much smaller in a very strict sense. We give an effective generalization of this result to the case of successive powers of real $ζ$. The method also allows to generalize corresponding results for $ζ$ contained in special fractal sets such as the Cantor set.

研究の動機と目的

• 実数 $\zeta$ に対して、連続する累乗 $\zeta, \zeta^2, \ldots, \zeta^k$ の場合に、1930 年に Jarník が得た同時近似結果を拡張すること。
• $\Psi(q) = o(q^{-1})$ の下で、$\|q\zeta^j - p_j\| \leq \Psi(q)$ が無限に多くの $q$ に対して成り立つが、$c < 1$ の任意の $c\Psi(q)$ に対しては成り立たないような $\zeta$ の存在を確立すること。
• 基数 $b$ の展開における桁制限を用いることで、カントール集合のような特別なフラクタル集合に属する $\zeta$ に対してもこれらの結果を一般化すること。
• 連分数展開または二進展開を用いた明示的な $\zeta$ の構成を提供し、近似閾値が最適であることを保証すること。

提案手法

• 連分数または基数 $b$ の桁展開を用いて $\zeta$ をブロック構成法で定義し、近似の挙動を制御する。
• 線形形式の推定と「折りたたみ補題」（Folding Lemma）を適用し、$1 \leq j \leq k$ の各 $j$ に対して、同時近似誤差 $\|q\zeta^j - p_j\|$ を制御する。
• $\Psi(q)$ に対して条件 (A1)–(A3) および (B1)–(B2) を課し、有効な境界を得るための減少性と単調性を保証する。
• 再帰的なブロック選択により、最小近似誤差が $\Psi(q)$ で有界であるが、$c < 1$ の $c\Psi(q)$ では有界でないような $\zeta$ を構成する。
• 基数 $b$ の展開における桁の制限を導入することで、この方法をフラクタル集合に適応し、$\zeta$ がカントール集合などに属することを保証する。
• 補題 3.10 と線形形式の推定を用いて、より良い近似が不可能であることを示し、境界の鋭さを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Jarník の同時近似に関する結果を、実数 $\zeta$ の $(\zeta, \zeta^2, \ldots, \zeta^k)$ の形のベクトルに拡張することは可能か？
• RQ2 与えられた $\Psi(q) = o(q^{-1})$ に対して、$\|q\zeta^j - p_j\| \leq \Psi(q)$ が無限に多くの $q$ に対して成り立つが、$c < 1$ の $c\Psi(q)$ に対しては成り立たないような $\zeta$ が存在するか？
• RQ3 連分数展開または基数 $b$ の桁展開を用いて、このような $\zeta$ を明示的に構成できるか？
• RQ4 これらの結果を、基数 $b$ の桁制限を用いたカントール集合のようなフラクタル集合に属する $\zeta$ に拡張できるか？
• RQ5 このような $\zeta$ が存在するための $\Psi(q)$ の最適な境界は何か？この境界を改善できるか？

主な発見

• 非増加で (A1) および (B1) を満たす任意の $\Psi(q) = o(q^{-1})$ に対して、非可算個の $\zeta \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ が存在し、$\|q\zeta^j - p_j\| \leq \Psi(q)$ が無限に多くの $q$ に対して成り立つが、$c < 1$ の $c\Psi(q)$ に対しては成り立たない。これにより、境界の鋭さが証明される。
• 構成法により得られる $\zeta$ は連分数展開または二進展開を有しており、近似誤差が $\Psi(q)$ で有界であるが、任意のより小さい $c\Psi(q)$ では有界でないことを保証し、最適性が示される。
• $\Psi(q) < q^{-\theta}$ で $\theta > \gamma$ の場合、この方法により、より良い近似が不可能な $\zeta$ が構成可能であり、以前の結果を改善する。
• 基数 $b$ の展開における桁の制限を用いることで、この方法はカントール集合に属する $\zeta$ に対しても一般化可能であり、最適な近似閾値が保たれる。
• 近似誤差における $1/(b-1)$ の境界は、現在の手法ではほぼ最適であり、任意に近づけることができる。
• ブロック構成法と折りたたみ補題を用いた証明技法により、このような $\zeta$ の有効な構成が可能であり、$b=2$ における二進展開に対しても同様に適用可能である。