[論文レビュー] Generalizations of Poly-Bernoulli numbers and polynomials

Hassan Jolany, Darafsheh, M. R.+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2012

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ひとこと要約

本稿では、3つの実数パラメータ $ a, b, c $ を用いて、多ポリ・ベルヌーイ多項式、オイラー多項式、一般化ベルヌーイ多項式を拡張する新しいクラスの一般化多ポリ・ベルヌーイ多項式 $ B_n^{(k)}(t,a,b,c) $ を導入する。再帰関係、微分および積分の公式、古典的特殊関数との関係を確立し、明示的な母関数と変換恒等式を用いて、単一のフレームワーク内で複数の多項式族を統一する。

ABSTRACT

The Concepts of poly-Bernoulli numbers $B_n^{(k)}$, poly-Bernoulli polynomials $B_n^{k}{(t)}$ and the generalized poly-bernoulli numbers $B_{n}^{(k)}(a,b)$ are generalized to $B_{n}^{(k)}(t,a,b,c)$ which is called the generalized poly-Bernoulli polynomials depending on real parameters extit{a,b,c}. Some properties of these polynomials and some relationships between $B_n^{k}$, $B_n^{(k)}(t)$, $B_{n}^{(k)}(a,b)$ and $B_{n}^{(k)}(t,a,b,c)$ are established

研究の動機と目的

• 3つの実数パラメータ $ a, b, c $ を導入して、多ポリ・ベルヌーイ数および多項式を一般化し、$ B_n^{(k)}(t,a,b,c) $ を形成すること。
• 古典的多ポリ・ベルヌーイ、オイラー、一般化ベルヌーイ多項式を単一のパrametricフレームワークの下で統一すること。
• 一般化多項式に対する再帰関係、微分および積分の公式、変換恒等式を導出すること。
• $ B_n^{(k)}(t,a,b,c) $、$ B_n^{(k)}(t) $、$ B_n^{(k)}(a,b) $、および $ E_n(x,a,b,c) $ 間の明示的関係を確立すること。

提案手法

• 母関数 $ \frac{Li_k(1 - (ab)^{-t})}{b^t - a^{-t}} c^{xt} = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n^{(k)}(x,a,b,c)}{n!} t^n $ を用いて、一般化多ポリ・ベルヌーイ多項式 $ B_n^{(k)}(x,a,b,c) $ を定義する。
• 古典的多ポリ・ベルヌーイ数 $ B_n^{(k)} $ とパラメータ $ \ln a + \ln b $ を用いて、$ B_n^{(k)}(a,b) $ および $ B_n^{(k)}(x,a,b,c) $ を表現することにより、変換恒等式を導出する。
• 級数の乗算と係数比較を用いて再帰関係を確立し、たとえば $ B_n^{(k)}(x+y,a,b,c) = \sum_{l=0}^n \binom{n}{l} (\ln c)^{n-l} B_l^{(k)}(x,a,b,c) y^{n-l} $ のような式を得る。
• 微分および積分の公式を証明する：$ \frac{\partial^l}{\partial x^l} B_n^{(k)}(x,a,b,c) = \frac{n!}{(n-l)!} (\ln c)^l B_{n-l}^{(k)}(x,a,b,c) $ および $ \int_\alpha^\beta B_n^{(k)}(x,a,b,c) dx = \frac{1}{(n+1)\ln c} \left[ B_{n+1}^{(k)}(\beta,a,b,c) - B_{n+1}^{(k)}(\alpha,a,b,c) \right] $。
• 母関数の操作と二項展開を用いて、一般化多ポリ・ベルヌーイ多項式と一般化オイラー多項式 $ E_n(x,a,b,c) $ を結ぶ恒等式を導出する。
• 特に定理5（$ B_n^{(k_1)}(x+y,1,b,b) $ と $ E_n(x,1,b,b) $ の関係）に関しては、数学的帰納法と係数一致を用いて恒等式を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多ポリ・ベルヌーイ多項式を、3つの実数パラメータ $ a, b, c $ を含む形で一般化し、$ B_n^{(k)}(t,a,b,c) $ を形成するにはどうすればよいか？
• RQ2 一般化多ポリ・ベルヌーイ多項式 $ B_n^{(k)}(x,a,b,c) $ に対して成立する再帰、微分、積分の公式は何か？
• RQ3 一般化多項式は、古典的多ポリ・ベルヌーイ、オイラー、一般化ベルヌーイ多項式とどのように関係するか？
• RQ4 一般化多ポリ・ベルヌーイ多項式 $ B_n^{(k_1)}(x+y,1,b,b) $ と一般化オイラー多項式 $ E_n(x,1,b,b) $ を結ぶ統一的恒等式を導出できるか？
• RQ5 $ B_n^{(k)}(x,a,b,c) $、$ B_n^{(k)}(a,b) $、および $ B_n^{(k)}(t) $ 間にどのような変換恒等式が存在するか？

主な発見

• 一般化多ポリ・ベルヌーイ多項式 $ B_n^{(k)}(x,a,b,c) $ は母関数 $ \frac{Li_k(1 - (ab)^{-t})}{b^t - a^{-t}} c^{xt} = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n^{(k)}(x,a,b,c)}{n!} t^n $ を用いて定義され、$ |t| < \frac{2\pi}{|\ln a + \ln b|} $ の範囲で有効である。
• 多項式は再帰関係 $ B_n^{(k)}(x+y,a,b,c) = \sum_{l=0}^n \binom{n}{l} (\ln c)^{n-l} B_l^{(k)}(x,a,b,c) y^{n-l} $ を満たし、二項型性を一般化する。
• 微分の $ l $ 階導関数は $ \frac{\partial^l}{\partial x^l} B_n^{(k)}(x,a,b,c) = \frac{n!}{(n-l)!} (\ln c)^l B_{n-l}^{(k)}(x,a,b,c) $ で与えられ、$ \ln c $ に指数的に比例する。
• $ [\alpha, \beta] $ 上の積分は $ \int_\alpha^\beta B_n^{(k)}(x,a,b,c) dx = \frac{1}{(n+1)\ln c} \left[ B_{n+1}^{(k)}(\beta,a,b,c) - B_{n+1}^{(k)}(\alpha,a,b,c) \right] $ で与えられ、微分積分学の基本定理を拡張する。
• 重要な恒等式により $ B_n^{(k_1)}(x+y,1,b,b) $ と一般化オイラー多項式が結ばれる：$ B_n^{(k_1)}(x+y,1,b,b) = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left[ B_k^{(k_1)}(y,1,b,b) + B_k^{(k_1)}(y+1,1,b,b) \right] E_{n-k}(x,1,b,b) $。
• パラメータ $ k_1 = 1 $、$ b = e $ とすると、古典的ベルヌーイ-オイラー恒等式 $ B_n(x) = \sum_{k=0, k\neq 1}^n \binom{n}{k} B_k E_{n-k}(x) $ が回復される。